微分几何彭家贵课后题答案

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1、习题一（P13）2.设是向量值函数，证明：（1）常数当且仅当；（2）的方向不变当且仅当。（1）证明：常数常数常数。（2）注意到：，所以的方向不变单位向量常向量。若单位向量常向量，则。反之，设为单位向量，若，则。由为单位向量。从而，由常向量。所以，的方向不变单位向量常向量。即的方向不变当且仅当。补充：23定理平行于固定平面的充要条件是。证明：：若平行于固定平面，设是平面的法向量，为一常向量。于是，。：若，则。若则方向固定，从而平行于固定平面。若，则。令则3.证明性质1.1与性质1.2。性质1.1（1）证明：设，则（2）证明：设，则23（3）证

2、明：设，则同理，23所以，。性质1.2证明：（1）证明：（2）4.设是正交标架，是的一个置换，证明：（1）是正交标架；（2）与定向相同当且仅当是一个偶置换。（1）证明：当时，；当时，，23所以，是正交标架。（2）证明：A)当B)当C)当D)当，此时，；E)当F)当所以，与定向相同当且仅当是一个偶置换。习题二（P28）1.求下列曲线的弧长与曲率：（1）解：23所以，1.设曲线，证明它的曲率为证明：231.设曲线C在极坐标下的表示为，证明曲线C的曲率表达式为证明：所以，；；；。因此，231.求下列曲线的曲率与挠率：（4）解：；。所以，；23。1

3、.证明：的正则曲线的曲率与挠率分别为，。证明：根据弗雷内特标架运动方程，得：23所以，。6．证明：曲线以为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet标架。证明：1）所以，该曲线以为弧长参数。由及23得所以，2）；，。3）所求Frenet标架是，其中，，。10.设是中的一个合同变换，。是中的正则曲线。求曲线与曲线的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。解：（1）可见，与曲线除相差一个常数外，有相同的弧长参数。（2）可见，与曲线有相同的曲率。23（3）可见，与曲线的曲率相差一个符号。13.（1）求曲率（是弧长参数）的平面曲线。解：设所求平面曲线因为

4、是弧长参数，所以可设，由曲率的定义，知所以，所求平面曲线。20.证明：曲线与曲线23是合同的。证明：1）对曲线作参数变换，则。可知是圆柱螺线()，它的曲率和挠率分别为，。因此，只要证明曲线的曲率，挠率，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。2）下面计算曲线的曲率与挠率。由，进而。。21.证明：定理4.4定理4.4设是连续可微函数，则（1）存在平面的曲线，它以为弧长参数，为曲率；（2）上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。证明：先证明（1），为此考虑下面的一阶微分方程组给定初值，其中是中的一个与自然标架定向相同的正交标架

5、，以及，则由微分方程组理论得，有唯一一组解满足初始条件：。若为所求曲线，则必是它的Frenet标架。因此，我们首先证明均是与自然定向相同的正交标架。将微分方程组改写成23其中。是一个反对称矩阵，即令对求导，并利用有：表明是微分方程组的解。定义则且23即所以，是微分方程组的解。注意到：，所以是微分方程组满足初始条件的唯一解。从而所以，均是正交标架。由于是关于的连续函数，且。故由知，。可见，均是与自然定向相同的正交标架。于是由微分方程组有：，这表明为弧长参数。从而由推出是单位切向量。由推出是曲线的曲率，从而由推出由，即是单位正法向量。可见，微分

6、方程组的满足初始条件：唯一一组的确表明：存在平面的曲线，它以为弧长参数，为曲率，当是连续可微函数时。23再证明（2）：设与是平面中两条以为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间上，。则存在刚体运动把曲线变为，即。证明开始：设，考虑两条曲线在处的Frenet标架与。则存在平面中一个刚体运动把第二个标架变为第一个标架，即与在处的Frenet标架重合。因此我们只须证明当曲线与在处的Frenet标架重合时，。曲线Frenet标架的标架运动方程为这是一个关于向量值函数的常微分方程。曲线的Frenet标架与的Frenet标架都是微分方程组的解。它们在处

7、重合就意味着这两组解在的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到。定理证明完成。习题三（P68）2（1）是什么曲面？解：4.证明：曲面的切平面过原点。证明：无妨假定方程确定一个的隐函数，于是23设，则所以，处的切平面为易见，当时，有：所以结论为真。1.证明：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向量的全体。证明：设曲面的参数方程为，。令为参数区域中过则的参数曲线，为曲面上过点的曲线。于是这表明曲线过点的切向量都可由与线性表出。可见过点的切向量都在过点的切平面上。另一方面，对于任意切向量，在参数区域中取过且方向为的参数曲线23则此时，从

8、而。这表明：在点的切平面中每一个向量都是过点的某一曲线的位于点的切向量。于是：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向量的全体。25.求双曲抛物面的Gauss曲率，平均曲率