2020届高考数学第四单元三角函数与解三角形第29讲正弦定理与余弦定理练习理新人教A版

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1、第29讲　正弦定理与余弦定理1．在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为(D)A.B．2C．3D．4因为C为三角形的内角，所以sinC＝＝，所以S＝absinC＝×3×2×＝4.2．(2016·天津卷)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(A)A．1B．2C．3D．4由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC

2、边上的高等于BC，则cosA＝(C)A.B.C．－D．－(方法1)设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝a·a＝acsinB，所以c＝a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，所以b＝a.所以cosA＝＝＝－.故选C.(方法2)同方法一得c＝a.由正弦定理得sinC＝sinA，又B＝，所以sinC＝sin(－A)＝sinA，即cosA＋sinA＝sinA，所以tanA＝－3，所以A为钝角．又因为1＋tan2A＝，所以cos2A＝，所以cosA＝－.故选C.4．如

3、图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝(B)A.B.C.D.EB＝EA＋AB＝2，EC＝＝＝，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝＋＝.由正弦定理，得＝＝＝，所以sin∠CED＝sin∠EDC＝sin＝.5．(2017·全国卷Ⅱ·文)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝　　.(方法一)由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.所以2sinBcosB＝sin(A＋C

4、)．又A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B.所以2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，所以cosB＝.所以B＝.(方法二)因为在△ABC中，由射影定理有acosC＋ccosA＝b，所以条件等式变为2bcosB＝b，所以cosB＝.又0

5、所以BC＝AB＝，所以AC＝.7．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.(1)在△ABD中，由正弦定理，得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.8.(2017·上海七宝中学期中)△ABC中，AB＝1，

6、BC＝2，则角C的范围是　(0，]　.设AC＝x，则1

7、由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.10．(2018·深圳二模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且acosB＋bsinB＝c.(1)求角C的大小；(2)若B＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．(1)由正弦定理可知：sinAcosB＋sin2B＝sinC，因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin2B＝cosAsinB，因为B∈(0，)，所以sinB>0，所以sinB＝cosA，即cos(－B)＝cosA，因为A∈(0，π)，－B∈(

8、0，)，所以－B＝A，即A＋B＝，所以C＝.(2)设BD＝m，CB＝n，因为B＝，C＝，所以A＝，且AC＝n，AB＝2n，AD＝2n＋m，所以S△ACD＝AC·ADsinA＝×n×(2n＋m)×＝，即n(2n＋m)＝3，