学年论文例文

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1、分段函数在分界点处的求导方法探究作者姓名（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013）摘要:分段函数在分界点处的导数问题是数学分析的一个重要问题，也是难点之一，一般的教材中并没有对此做出具体、深入的讨论，本文对分段函数在分界点处的求导方法作进一步探究.关键词：分段函数；左右导数；左右极限；幕级数分段函数作为一类特殊的函数，齐段在其定义区间内可由求导法则直接求得，但对于分界点处的求导问题一向是学习的难点，本文试图从函数在某点可导的必要条件、导数定义、公式求导法、导数极限定理、幕级数等五个方面來探究分段函数在分界点处的求导方法.1利用函数在某点可导的必要条件定理1

2、⑴若函数/（兀）在点X。可导，则/（兀）在点兀o连续.sinx兀工（）例1讨论在/&）=—「在x=0处得可导性.0x=0解因为lim/（x）==1x->0'7a->0x而/（0）=0,显然0工1,所以/（x）在兀=0不连续，故/（兀）在x=。处是不可导的•注1定理1只是说当/（兀）点兀。可导时能够推出/（兀）在兀。连续，即函数在某点连续是某点可导的必要不充分条件，所以函数/（兀）在该点连续也可能在该点不可导.例2讨论函数f（x）=x在点兀处的可导性.（xx>0解首先/W=

3、x

4、=-Xx<0因为limf(x)=limx=0limf(x)=lim(-x)=0

5、x->o".v->(r所以因而/（兀）在点石）:二0处是连续的.但/(x)-/(O)_

6、x

7、_[l兀〉0x—0xI—1x<0当兀T0时极限不存在，故/&）在点xo=O处不可导.2按定义求分界点处的导数或利用可导的充要条件首先给出导数定义和左右导数的定义及一个定理.定义1⑴设函数y=f（x）在点兀。的某邻域内有定义，若极限lim，⑴7（"）X-Xo存在，则称函数/（兀）在点兀（）处可导，并称该极限为函数/⑴在点兀（）处的导数，记作广（切•即你）挙芈泸定义2⑴设函数y=f（x）在点X。的某右邻域［兀。兀。+5）上有定义，若极限lim型Ar->0+AXlim心+心

8、）-心）（ov心廿）存在，则称该极限值为代兀）在点兀。的右导数,记作广+（兀。）・即类似地,广（兀。）=lim心3）乍牝）我们可定义左导数广比）」nJ仇+山）一‘牝）心一>0AxAv->0+人一定理2⑴若函数y=f（x）在点“）的某邻域有定义，则广（兀°）存在的充要条件是与广_（兀0）都存在，且广+（兀0）=/1（兀0）・例2中在判断/（x）在点兀（）=（）处是连续之后，运用了分界点的导数定义，对/（%）在无=0的可导性作了进一步的判断，下面再给出一个结合分界点的左右导数的定义及定理2的例子.例3设/（x）=x2

9、x

10、,求广（兀）・解x>0x<0现讨论.f（

11、x）在点兀0=0处的可导性.由定义2知，f'（Xo）=lim~=lim-——=limx2=0+XTxJX-Xo丫->对X-0XT（Tff_（兀（））=lim―/"°）=lim（-x1）=0_x->对x—x07显然,广+（切与f.M都存在，且f+M=f-M=^所以由定理2知，广（兀0）存在且ffM=0注2仔细分析上面解法，易知在解题过程中忽略了一个重要的步骤就是未判断/（兀）在点xo=O处的连续性，若不连续，由方法1矢口，/（兀）在兀。=0不可导，直接运用左右导数定义及定理2做下去无意义，因而，首先应判断/（兀）在分界点处的连续性•该题中，由函数在某点连续定

12、义就可得到/（兀）在点兀（）=0处是连续的，然后是上面的求解过程.3直接应用导数法则与公式求分界点的左右导数如果分段两数各段在分界点处两数值相等，且各段在分界点处单侧导数存在且相等，则分段函数在分界点处一阶导数也存在且等于各段两数在分界点处的单侧导数值.1-x-00

13、的方法可判断X=2的导数也存在，且y'0=l.•x=2-1-000解首先易得1+2xcosx2'广(x)=<1x<0x>0进一步考虑/在兀=0处的导数.由于lim/(x)=limIn(1

14、+x)=0=/(0)(x+sin兀2)=0=f(o)