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1、解斜三角形的新思路甘肃省平凉市第一中学马亮解三角形在实际生活屮冇广泛的应用，是历年高考的重点内容之一，高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查•看下面的定理：正弦定理：在任一个三角形小，各边和它所对角的正弦比相等.证明：(等积法)在任意斜AABC当中：=-absinC=-acsinB=-besinA2221cihc两边同除以一"c即得：——=^—=^—.2sinAsinBsinC余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍・即a2=/?2+c2-2/?ccosA证明：在斜AABC中，作AC边上的高BD,设AD=x则CQ=b—x如图示:
2、r・・・BD2=c2-x2=a2-(b-x)2即：ci2=b2+c2-2bccosAAc2-a1-b1+2hx=a2-h2+2hccosA正弦、余弦定理证明方法较多，上面给出了斜三角形中正弦、余弦定理传统的几何证明方法，二定理的证明均可通过作三角形的高线将斜三角形化归为直角三角形，分别利用面积公式和勾股定理予以证明，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理完全可以看成勾股定理的推广，定理的这种证明给我们解三角形提供了一种新的思路，即：解斜三角形的问题往往可以通过作三角形某一边上的高转化为解直角三角形的问题。本文试图以高考试题为例剖析这一新思路的应用。例1.设AABC的内角A,B,C所对
3、的边长分别为a,b,c,且acosB二3,bsinA二4・(1)求边长a；(2)若AABC的面积S=10,求ABC的周长/.思路一：利用正、余弦定理(1)由qcosB=3与bsinA=4两式相除，由正弦定理冇：3acosBacosBbcosB厂3.,小小—====cotBcosB=—sinB,矢口：cosB>0,4bs'mAsinAbsinBb40043代人sirTB+cos~B=1得sinB=—,cosB=_,则a=5.55122r2(2)由S=-acsinB，得到c=5.由cosB=Cl+C~b解得：b=2后,/二10+2亦.2lac思路二：(1)由已知acosB=3"si
4、n4=4启发我们在ABC中过C作CD丄ABvacosB=3•••BD=3,又tbsinA=4CD=4:.a=5(2)•/5^^=AB-CD=10/.AB=5/.AD=2:.b=^AD2-^-CD2=2^5/./=10+2a/5例2•在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为d、b、c.FLsinAcosC=3cosAsinC,求b.分析:此题虽然简单但学生往往不知从何入手.对已知条件（1）2h左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对Q知条件⑵sinAcosC=3cosAsinC,U：多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学牛还想用现在己经不再考的积化和差，导
5、致找不到突破II而失分.有：a-a2+b2-c22ah2224严化简并整理給2(a2-c2)=b2.思路一：在ABC'I'vsinAcosC=3cos/lsinC，贝U由正弦定理及余弦定理又由已^a2-c2=2b・・・4b=b2.解得b=4或b=0(舍).思路二如图：过B作丄AC交AC于Z）则cosA=AD在AABC•••sinAcosC=3cosAsinC,BDCDADBD=3caca:.CD=3AD•••h=4AD又•••a2-c2=2b•••(BD2+CD2)-(BD2+3)=2x4AD.8AD2=AD/.AD=1:.b=4例3•设ABC的内角A,B,C的对边分别为
6、a,b,c且A=60°,c=3b求：(1)纟的值；(2)cot3+cotC的值.c思、路一：(1)由余弦定理得a2=Z?2+c2-2bccosA=(—c)2+c2-2—cc—故—=^~,332c3—、c小cosBsinC+cosCsinBsin(S+C)sinAsinBsinC(2)cotB+cotC===sinBsinCsinBsinC由正弦定理和（1）的结论得sinAsinBsinCI2?-C21Q二29sinAhelc<3，143^314^39故cotB+cotC=14^39思路二：（1）过C作CE丄AB交AB于E,过B作3D丄AC交AC延长线于D・如图:vZA=60(,/
7、.ZABP=30°又•/c=3bAD=—/.CD——22°o0Tib2在RtABD屮BD2=AB~一AD2=——,ZDSCDS斗十普⑵在ZCE中：S60°AC=b*,CE芒rf4-在RtABEC屮cotZCBE=—==—CE羽b3b乂cotC=-cotZBCD=-—=一一碁・•・cotB+cotC=BD992上述思路二将利用正余弦定理解斜三角形的问题通过作三角形某一边上的高巧妙地转化为解直角三角形的问题，解法简捷、巧妙，富有创意，仅用初中所学的知识完成了高考试题的解答；无论作为
