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1、解析几何解答题失分原因之剖析摘要：高考屮解析几何解答题学生经常出现“会而不对，对而不全”的局面，究其原因是：(1)选择参数随意；(2)建立等式随意；(3)消参数随意；(4)等式变形随意.关键词：交点；等式；变形；参数；原因；随意：?］题目呈现(浙江高考2009年文科第22题第2问)已知抛物线C：x2二y上一点P的横坐标为t(t>0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于点M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线，求t的最小值.分析根据已知条件知Q,M,N都是直线与曲线的公共点，绝大多数的学生按题目条件给出的三点Q,M,N的先后顺序，通过三次求
2、解方程组,分别求得Q,M,N的坐标•思路1虽然自然合理，但从以上推理过程看出运算量较大,且各点处标表达式比较繁杂,这样在计算上犯错的机会增大.分析与思路1比较，虽然Q点坐标不需要求，解方程组的次数少了一次，但表达PQ与QN的直线斜率没有思路1简便，这样对求M,N点坐标及求过N点的切线方程仍然麻烦.分析这是一道解析儿何综合题，主耍涉及直线与直线、直线与抛物线的交点处理•思路1、思路2、思路3分别选择了以直线PQ的斜率k和Q,N的横坐标为参数•思路4设出了P,Q,N三点的横坐标，与前三种思路相比，虽然多设了一个参数，需要建立二个关于t,x0,xl的关系式,但
3、只要发挥“垂直”与“三点共线”的重要特征，这两个等式还是容易建立.这样省略了解直线与抛物线联立方程组，运算量大减，并且各点坐标的农达式都比较简洁•思路4是本题最优思路.由以上解法讨论知，木题各种解题思路主要区别在于对Q,N,M三点坐标的处理方式不一样，及建立等式方法不相同•笔者对本校高三年级1098名学生中随机抽取140人，对本题进行了一次测试，测试时间为15分钟，并将各种解题思路的人数进行统计，见表1、表2：：?］原因剖析对140份测试卷的正确答案人数进行统计，有18人得出t的最小值为,其中满分的仅有4人.是什么原因导致这样的“坏”结果？学生的解题思维
4、过程中哪些方面存在着问题？产生这些问题的根源又是什么？值得深思.1・思维定式导致选择参数随意直线与圆锥曲线公共点的坐标常用处理方法：一种是通过解方程组直接求岀公共点坐标，此法有时会做许多“无用功”.另一种方法是“设而不求”，此法“设参”是解题起点，也是解题最重要的一步，这一步没做好，就会影响整个解题的大局.从表1、表2知，大部分学生采用思路1・事实上，思路4明显要比前三种思路简洁，为什么大部分学生都想不到，其原因何在？其一，人教A版教科书中所有例题，凡是涉及直线与圆曲线交点问题都是通过解方程组方法求出交点，并在第二章圆锥曲线与方程的小结中强调“直线与圆锥
5、曲线有无公共点，等价于它们的方程组成的方程组有无实数解”.平时教学中，教师十分强调通过解方程组求交点，并且布置一定量的题目进行强化训练，学生通过解方程组求出交点坐标，形成了一种思维定式.英二，笔者与选用思路1的学生座谈时，了解到他们的解题思路就是按题目的已知条件先后顺序进行求解，并没有对题目的各条件从整体上把握.在这样的解题思维下，设直线PQ方程是必须的，设直线PQ的斜率为参变量成为“自然”.其三，平时使用设参数解题，一些学生对引进参数的作用缺乏透彻的理解，只是模仿照搬.分析表明，大多数学生受思维定式的影响，只会按照固有的思路套用模式解题，不会自己分析推
6、理解决问题•从表1知，有88.6%的人采用了思路1,与实际相吻合.2.缺少对儿何特征的挖掘，导致建立等式随意解析几何问题离不开图，图形的几何特征是解题思维的重要信息，解题者根据图形中反映出來的几何特征，从中提炼出有关的数量关系，通过设未知量建立方程，将几何问题转化为代数问题.而如何建立所需要的“好”方程，是处理好有关几何问题的关键.本题涉及四个点P,Q,N,M,因为Q是直线PQ与抛物线的交点，M是与PQ互相垂直的直线QM与抛物线的交点，N是抛物线在M点处切线和直线PQ以及x轴的公共点.山此知道本题当P点确定后，Q,N,M也随之确定，即Q,N,M的坐标与t
7、存在着一定依存关系.其关系式如何建立呢？“QN丄PQ”和“MN是C的切线”是本题最突出的几何特征，如何将它们用数量关系加以表达呢？QN丄PQ其数学含义可理解为kPQkQN二-1,更进一步理解为(xO+xl)(xl+t)二-1或(xO+xl)二-1或(xO+xl)二-1.“MN是C的切线”其数学含义可理解为:抛物线在N点的切线过M点，或过N点的抛物线切线与x轴交点在直线PQ上，或M,N两点连线斜率等于函数y二x2在N点处的导数•更深入一步,可将“Q,P,M三点共线”等价转化为两斜率相等，或一点坐标满足由另两点所成的直线方程，可将“QP,NM,x轴三线共点”
8、等价转化为两直线交点坐标满足另一直线方程.从表1、表2知，冇18人使用“三点共线
