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时间:2019-09-22
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1、计数综合知识点拨:—、排列一般地,从/?个不同的元素中取出m(,n2、步骤1:从〃个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有川种方法;步骤2:从剩下的(,1-1)个元素中任取一个元素排在第二位,有S-1)种方法;步骤加:从剩下的[n-(tn-1)]个元素中任取一个元素排在第〃7个位置,有n-(m-l)=n-m+l(种)方法;由乘法原理,从川个不同元素中取出〃7个元素的排列数是n-(n-l)-(n-2)(n-m+1),即Pt'n=n(n_i)(n_2)-••(n-4-1),这里,m3、叫做从个不同元素中取出m个元素的一个组合.从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.从个不同元素中取出加个元素(m4、合数=空="•5一°•5-2)••…5-“+1).n“m“町加•(加—D•(加—2)••…3-2-1这个公式就是组合数公式.例题粹讲:一、排列组合的应用【例1】小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?(1)七个人排成一排;(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.(6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人.小新、阿呆不在同一排。【例2]用1、2、3、4、5、6可以5、组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数?【例3】用1、2、3、4、5这五个数字,不许重复,位数不限,能写出多少个3的倍数?【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片,每次取三张卡片组成三位数,一共可以组成多少个不同的偶数?【例4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非0数码组成,且四个数码之和是9,那么确保打开保险柜至少要试几次?【例5】两对三胞胎喜相逢,他们围坐在桌子旁,要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻,(同一位置上坐不同的人算不同的坐法),那么共有多少种不同的坐法?【例6]一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24:30,那么从8时到96、时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【例7】一个六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相同的.将这个六位数的6个数字重新排列,最少还能排出多少个能被11整除的六位数?几何计数【例8]【例9]在图中(单位:厘米):①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?【例10]一个圆上有12个点A】,A2,A3,…,An,AI2.以它们为顶点连三角形,使每个点恰好是一个三角形的顶点,且各个三角形的边都不相交.问共有多少种不同的连法?【解析】我们采用递推的方法./如果圆上只有3个点,那么只有一种连法.II如果圆上有6个点,除4]点所在三角形的三顶点7、外,剩下的三个点一定只能在儿所在三角形的一条边所对应的圆弧上,表1给出这时有可能的连法。缶所在三角形余下点数313131«iIII如果圆上有9个点,考虑旳所在的三角形.此时,其余的6个点可能分布在:①4[所在三角形的一个边所对的弧上;②也可能三个点在一个边所对应的弧上,另三个点在另一边所对的弧上.在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧.如果是情形①,则由II,这六个点有三种连法;如果是情形②,则由①,每三个点都只能有一种连法.表2£所在三角形余下点数种数A]42*363A142*963AiA^Ag63:4)**63+314]*必63+31共有12种连法
2、步骤1:从〃个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有川种方法;步骤2:从剩下的(,1-1)个元素中任取一个元素排在第二位,有S-1)种方法;步骤加:从剩下的[n-(tn-1)]个元素中任取一个元素排在第〃7个位置,有n-(m-l)=n-m+l(种)方法;由乘法原理,从川个不同元素中取出〃7个元素的排列数是n-(n-l)-(n-2)(n-m+1),即Pt'n=n(n_i)(n_2)-••(n-4-1),这里,m3、叫做从个不同元素中取出m个元素的一个组合.从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.从个不同元素中取出加个元素(m4、合数=空="•5一°•5-2)••…5-“+1).n“m“町加•(加—D•(加—2)••…3-2-1这个公式就是组合数公式.例题粹讲:一、排列组合的应用【例1】小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?(1)七个人排成一排;(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.(6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人.小新、阿呆不在同一排。【例2]用1、2、3、4、5、6可以5、组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数?【例3】用1、2、3、4、5这五个数字,不许重复,位数不限,能写出多少个3的倍数?【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片,每次取三张卡片组成三位数,一共可以组成多少个不同的偶数?【例4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非0数码组成,且四个数码之和是9,那么确保打开保险柜至少要试几次?【例5】两对三胞胎喜相逢,他们围坐在桌子旁,要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻,(同一位置上坐不同的人算不同的坐法),那么共有多少种不同的坐法?【例6]一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24:30,那么从8时到96、时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【例7】一个六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相同的.将这个六位数的6个数字重新排列,最少还能排出多少个能被11整除的六位数?几何计数【例8]【例9]在图中(单位:厘米):①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?【例10]一个圆上有12个点A】,A2,A3,…,An,AI2.以它们为顶点连三角形,使每个点恰好是一个三角形的顶点,且各个三角形的边都不相交.问共有多少种不同的连法?【解析】我们采用递推的方法./如果圆上只有3个点,那么只有一种连法.II如果圆上有6个点,除4]点所在三角形的三顶点7、外,剩下的三个点一定只能在儿所在三角形的一条边所对应的圆弧上,表1给出这时有可能的连法。缶所在三角形余下点数313131«iIII如果圆上有9个点,考虑旳所在的三角形.此时,其余的6个点可能分布在:①4[所在三角形的一个边所对的弧上;②也可能三个点在一个边所对应的弧上,另三个点在另一边所对的弧上.在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧.如果是情形①,则由II,这六个点有三种连法;如果是情形②,则由①,每三个点都只能有一种连法.表2£所在三角形余下点数种数A]42*363A142*963AiA^Ag63:4)**63+314]*必63+31共有12种连法
3、叫做从个不同元素中取出m个元素的一个组合.从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.从个不同元素中取出加个元素(m4、合数=空="•5一°•5-2)••…5-“+1).n“m“町加•(加—D•(加—2)••…3-2-1这个公式就是组合数公式.例题粹讲:一、排列组合的应用【例1】小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?(1)七个人排成一排;(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.(6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人.小新、阿呆不在同一排。【例2]用1、2、3、4、5、6可以5、组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数?【例3】用1、2、3、4、5这五个数字,不许重复,位数不限,能写出多少个3的倍数?【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片,每次取三张卡片组成三位数,一共可以组成多少个不同的偶数?【例4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非0数码组成,且四个数码之和是9,那么确保打开保险柜至少要试几次?【例5】两对三胞胎喜相逢,他们围坐在桌子旁,要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻,(同一位置上坐不同的人算不同的坐法),那么共有多少种不同的坐法?【例6]一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24:30,那么从8时到96、时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【例7】一个六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相同的.将这个六位数的6个数字重新排列,最少还能排出多少个能被11整除的六位数?几何计数【例8]【例9]在图中(单位:厘米):①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?【例10]一个圆上有12个点A】,A2,A3,…,An,AI2.以它们为顶点连三角形,使每个点恰好是一个三角形的顶点,且各个三角形的边都不相交.问共有多少种不同的连法?【解析】我们采用递推的方法./如果圆上只有3个点,那么只有一种连法.II如果圆上有6个点,除4]点所在三角形的三顶点7、外,剩下的三个点一定只能在儿所在三角形的一条边所对应的圆弧上,表1给出这时有可能的连法。缶所在三角形余下点数313131«iIII如果圆上有9个点,考虑旳所在的三角形.此时,其余的6个点可能分布在:①4[所在三角形的一个边所对的弧上;②也可能三个点在一个边所对应的弧上,另三个点在另一边所对的弧上.在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧.如果是情形①,则由II,这六个点有三种连法;如果是情形②,则由①,每三个点都只能有一种连法.表2£所在三角形余下点数种数A]42*363A142*963AiA^Ag63:4)**63+314]*必63+31共有12种连法
4、合数=空="•5一°•5-2)••…5-“+1).n“m“町加•(加—D•(加—2)••…3-2-1这个公式就是组合数公式.例题粹讲:一、排列组合的应用【例1】小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?(1)七个人排成一排;(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.(6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人.小新、阿呆不在同一排。【例2]用1、2、3、4、5、6可以
5、组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数?【例3】用1、2、3、4、5这五个数字,不许重复,位数不限,能写出多少个3的倍数?【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片,每次取三张卡片组成三位数,一共可以组成多少个不同的偶数?【例4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非0数码组成,且四个数码之和是9,那么确保打开保险柜至少要试几次?【例5】两对三胞胎喜相逢,他们围坐在桌子旁,要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻,(同一位置上坐不同的人算不同的坐法),那么共有多少种不同的坐法?【例6]一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24:30,那么从8时到9
6、时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【例7】一个六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相同的.将这个六位数的6个数字重新排列,最少还能排出多少个能被11整除的六位数?几何计数【例8]【例9]在图中(单位:厘米):①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?【例10]一个圆上有12个点A】,A2,A3,…,An,AI2.以它们为顶点连三角形,使每个点恰好是一个三角形的顶点,且各个三角形的边都不相交.问共有多少种不同的连法?【解析】我们采用递推的方法./如果圆上只有3个点,那么只有一种连法.II如果圆上有6个点,除4]点所在三角形的三顶点
7、外,剩下的三个点一定只能在儿所在三角形的一条边所对应的圆弧上,表1给出这时有可能的连法。缶所在三角形余下点数313131«iIII如果圆上有9个点,考虑旳所在的三角形.此时,其余的6个点可能分布在:①4[所在三角形的一个边所对的弧上;②也可能三个点在一个边所对应的弧上,另三个点在另一边所对的弧上.在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧.如果是情形①,则由II,这六个点有三种连法;如果是情形②,则由①,每三个点都只能有一种连法.表2£所在三角形余下点数种数A]42*363A142*963AiA^Ag63:4)**63+314]*必63+31共有12种连法
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