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1、13.4 课题学习 最短路径问题湛江市第二十中学王丽侠【教学目标】教学知识点能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.能力训练要求在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.【教学重难点】重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
2、.突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.【教学过程】一、创设情景引入课题师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.(板书)课题学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.二、自主探究合作交流建构新知追问1:观察思考,抽象为数学问题这是
3、一个实际问题,你打算首先做什么?活动1:思考画图、得出数学问题将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?师生活动:学生尝试回答,并互相补充,最后达成共识:(1)从A地出发,到河边l饮马,然后到B地;(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和,就是从A地到饮马地点,再回到B地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C在l
4、的什么位置时,AC与CB的和最小(如图).强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2:尝试解决数学问题问题1:如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?问题2 如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充如果学生有困难,教师可作如下提示作法:(1)作点B关于直线l的对称点B';(
5、2)连接AB',与直线l相交于点C,则点C即为所求.如图所示:问题3 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?教师展示:证明:如图,在直线l上任取一点C'(与点C不重合),连接AC',BC',B'C'.由轴对称的性质知,BC=B'C,BC'=B'C'.∴AC+BC=AC+B'C=AB',AC'+BC'=AC'+B'C'.在△AC'B'中,AC'+B'C'>AB',∴当只有在C点位置时,AC+BC最短.方法提炼:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4练习 如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游
6、客,然后将游客送往河岸BC上,再返回P处,请画出旅游船的最短路径.基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q在直线BC的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR的和最小”.问题5 造桥选址问题如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+M
7、N+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?问题解决:如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N.作桥MN,此时路径
8、AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1>AM+MN+BN,如图所示:三、巩固训练(一)基础训练1.
