最短路径教学设计

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1、第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册)如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？两点之间线段最短探究一：最短路径问题的概念1提出问题：探究一：最短路径问题的概念(2)图中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”引言：关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知

2、识探究数学史中著名的“将军饮马题”；和“造桥选址题”。引入新知【学习目标】利用轴对称、平移变换等转化思想，结合线段公理解决最短路径问题。【学习重、难点】通过轴对称、平移解决将军饮马和造桥选址的最短路径问题;如何理解通过轴对称、平移解决将军饮马和造桥选址的路径一定是最短.13．4课题学习　最短路径问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：探索新知BAl问题一：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探

3、索新知精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAl问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al探索新知问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlC问1对于问题2，如何将点B“移”到l的另

4、一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点

5、C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′

6、+BC′．即AC+BC最短．问题二（造桥选址问题）如图13.4-6,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)将实际问题中A，B两地与笔直的河L抽象成点A.点B和直线a,b如图8ABbMN图8桥MN建在何处时，才能使AM+MN+NB最短呢？因为河的宽度MN是不变的，所以问题就转化为求AM+NB最短。怎样找出点M和点N的位置呢？事实上MN与河两边垂直。因此只要找出M，N其中一点的位置就可确定另一点的位置。以在直线b上确定N点为例ABbMN图8A

7、M+NB最短，要先确定点N在直线b的位置，如果我先将A点往直线a的垂直方向平移MN个单位后到A′，由于MN垂直直线a，N点就是M点往直线b的垂直方向平移MN个单位后到的点，由图形平移后的对应点之间的线段是平行且相等的，得到AM=A′N.AM+NB最短即A′N+NB最短.转变成了直线b上是找到一点N，使A′N+NB最短,连结A′,B,与直线b相交的一点为N点A′BbMNaAABbMNA′图11将A点往直线a的垂直方向平移MN个单位后到A′，连结A′,B,与直线b相交的一点为N点,再过N点作NM⊥a,与直线a的交点为M.即MN为所求AM+

8、MN+NB最短的位置（如图）.a③作图过程：④提出疑问这线段NM的位置就一定是A点到B点之间最短的吗？在直线a,b上再取两点M′,N′与M,N不重合.（如图12）求证：AM+MN+NB〈AM′+M′N′+N′BABbMN