13.4 课题学习 路径之“最”问题

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1、第十三章轴对称13.4课题学习路径之“最”问题设计者：阜阳九中郭鹏教学目标1、知识与技能能利用轴对称变换解决日常生活中的最短及最长路径问题。2、过程与方法通过活动总结路径之“最”问题的重要解决途径之一：把若干线段转化到统一直线上。3、情感态度和价值观通过实例体会人们解决问题的智慧与方法，提高学生学习数学的兴趣和积极性。教学重难点和关键1、重点：利用轴对称变换解决日常生活中的最短及最长路径问题。2、难点：发现、总结并掌握解决最短及最长路径问题的方法。3、关键：思考如何把若干条线段转化到同一条直线上。教学过程一、复习引入1、提问：请问同学们我们学过的关于“最”的定理有哪些？三角形三边之间

2、的关系定理是什么？（设计意图：让学生回顾“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”和“三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边”等定理，作为本节课的理论基础。）2、情景问题如图，已知直线m两侧有A、B两点，试在直线m上求一点P，使A、B两点到点P的距离之和最小。（设计意图：通过直线异侧两点最短距离的探索，学生易得出当A、P、B三点在同一直线上时，AP+BP最小，进而引出直线同侧两点的探索活动，总结方法。）二、新课探索（一）路径最短问题1、出示问题：如图，已知A、B在直线m同一侧，在直线m上求一点P，使得A、B两点到P点的距离之和最小。（设计意图：通过学生对引入问题的研讨，改变条件引出

3、新问题，使学生通过两个问题的比较、联系，引发思考，让学生联想到通过对称解决问题。）A、B两点到P点的距离之和最小，即AP+BP最小；学生通过预习进行充分的研讨、交流；学生做出点P后，教师引导学生证明；教师引导学生总结出解决问题的方法。证明：在直线m上异于点P处再任取一点P′,连结AP′、BP′、B′P′，因为B与B′关于直线m对称所以BP=BP′BP′=B′P′在ΔAB′P′中，AP′+B′P′＞AB′即AP′+BP′＞AP+BP所以AP+BP最小总结：路径最短问题，可以设法把若干线段转化到同一条线段上进行解决，其中利用作对称点的方法是有效途径之一。2、应用变化变化一：（设计意图：让

4、学生通过思考、交流，利用总结的方法解决相关实际问题。）让学生交流，教师引导学生用做对称点，并连结对称点的方法解决问题。学生回答后，教师给出证明过程：变化二：教师点拨：如何使ΔABC的三边转化到同一条线段上呢？学生思考、交流，解题并回答。教师：此题的证明过程请课下同学们独立完成。（二）路径最长问题教师：此题的突破口在于如何做出P点，为此我把它的突破口提出来变成另一个题目：如上右图，直线m上一动点P和直线同侧两点A、B，若使PA-PB最大，请在直线m上作出点P。学生根据前面所学进行思考、交流，解答问题并回答。解：连结AB并延长交直线于P点。则P点即为所求。师：为什么呢？生：PA′-PB′

5、＞AB而PA-PB=AB（设计意图：让学生用已探究的结论尝试解决新问题，研究所得结论是否适用于新问题，从而得出一般性做法，为今后学习所用。）2、变化如图，已知直线m两侧有AB两点和直线m上一动点P，若使PA-PB最大，请作出P点。分析：我们可以用对称把B点转化到直线m的另一侧，使之与A同侧，就和上题类似了。通过提示，学生易作出P点来，教师接着强调把若干线段转化到同一条线段上的方法：做对称点，连结对称点或已知点。三、总结本节课我们学习了路径最短（或最长）问题，这类问题的解决方法主要是设法把若干线段转化到同一条线段上。四、作业课后相关题目及能力训练与培养上的有关题目。教学反思通过教学，我

6、发现教学时教师应把时间尽量留给学生，让学生能充分讨论和探索，这样才能真正理解并记住问题及解决问题的方法，才能把所学知识转化成自己的能力。教师教学时还要把握住“把若干线段转化到同一条线段上”这条主线，以及做对称点，连结对称点和已知点（或连结两个对称点）的具体方法，问题就容易解决了。