13.4 课题学习 最短路径问题

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1、13.4课题学习最短路径问题商丘市梁园区谢集二中郭白云【课的类型】新授课。【教学目标】1、知识与技能：通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短。2、过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想和方法。3、情感态度与价值观：在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系。【教学重点】运用所学知识解决最短路径问题。【教学难点】选择合理的方法解决问题。【教学方法】讨论法、讲解法。【教学用具】多媒体课件。【教学过程

2、】一、引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”和“建桥问题”．二、探索新知（一）将军饮马问题问题1：　相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索

3、，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么？追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．问题2

4、如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？追问1　对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？追问2　你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．问题3　你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴　

5、AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴　AC+BC＜AC′+BC′．　　即　AC+BC最短．追问1　证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？追问2　回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？（二）建桥问题多媒体出示问题教材第86页例题。思考：1、要保证路径最短，就要使哪些线段的和最小？2、无论点M在什么位置，MN的长度是否发生变化？为什么？学生讨论，教师点评。展

6、示图13.4-9的证明过程。归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？布置作业教科书复习题13第15题．【板书设计】一、创设情境二、探索新知（一）将军饮马问题问题1：问题2：（二）建桥问题三、归纳总结