数学活动：探究四点共圆的条件

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1、活动2探究四点共圆的条件学习目标：1．理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件.2．通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．学习重点：四点共圆的条件的探究．教学过程：1.创设情境，发现问题引言在前面的学习中，我们学习了经过一点A可以作无数个圆；经过两点A，B可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上；经过不在同一直线上的三个点A,B,C可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆。问题1过任意三点都不在同一直线上的四个点能做一个圆吗？也就是说过任

2、意一个四边形的四个顶点能做一个圆吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，回答问题。设计意图：从经过一点的圆、经过两点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三角形与圆的关系入手，又经过三角形三个顶点可以做一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的只是经验出发，获得探究问题的方向。同时也渗透将探究四点共圆问题转化成三点共圆的问题，为后继猜想的证明做适当的只是准备。2.合作探究获得猜想师生活动：学生分成小组，共同探究教师提出的问题（过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗），学生代表展示小组讨论的过程与结果。教师

3、重点关注学生自主探究的步骤和方法。教师针对学生的不同方法、不同的表达形式给予指导，并引导学生从特殊的图形出发，寻找它们共性的条件。学生会出现下面几种常见情况。（1）四（三）条边的垂直平分线交于一点的四边形;（2）分析一些特殊的四边形，如平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等（3）过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆对于第（1）种情况，师生共同归纳：由圆的定义可以得出此命题成立。对于第（2）种情况，教师引导学生动手画图，思考、交流。过举行、等腰梯形和正方形的四个顶点可以做一个圆，过平行四边形和菱形对的四个顶点不能做

4、一个圆。教师展示学生的画图。对于第（3）种情况，教师引导学生从圆内接四边形对角互补出发进行思考，并进一步完成接下来的问题。问题2四边形的哪些元素决定了过它的四个顶点可以作一个圆？能再找一个四边形验证吗？师生活动：对于决定过四个顶点可以作一个圆的要素，学生可能回答对角互补或对角线相等，.教师进一步引导学生分析矩形、等腰梯形、共斜边的两个组成的四个顶点组成的四边形的共同特征（图3），发现对角线的不一定相等，但对角互补：从而获得猜想：这对角互补的四边形的四个顶点能制一个圆。设计意图：让学生学会利用特征去对问题进行研究，从特殊

5、到特殊，最后到一般情形，一步一步的先研究的目标靠近，在学生动手画四边形的四个顶点能共园，有的却不行，引导学生从四边形的边和角等方面去猜测、探究。有利于学生在“做”数学的过程中思考、积淀，从而积累数学活动的经验。3.证明猜想，获得结论问题3如何证明“过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆”？师生活动：教师展示问题，师生共同写出已知、求证。已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。求证：过点A，B，C，D可做一个圆。学生分组讨论证明思路，学生思考并尝试回答.学生可能联想到过三点作圆的问题，因此需要找到一点O，满足OA

6、=OB=OC=OD。教师追问1：如何找到这个点？师生活动：教师引导学生思考将四边形的问题可以转化成三角形来研究，四点共圆的问题可以考虑能否转化成三点共圆的问题。不在同一条直线上的三点是共圆的，我们可以作出过三点的圆，第四点不能确定是否共圆，但其中的三点是可以保证共圆的，再考虑余下的点是否在过三点的圆上。教师追问2：假设过三点的圆已经作出（过三点A，B,C做出圆O），如何证明第四点（点D）在这个圆上？师生活动：学生尝试证明点D与圆心O的距离等于半径。但这种方法目前存在困难。教师追问3：假设点D不在过三点A，B,，C的圆上

7、，会出现哪些情况？你能对它们进行证明吗？师生活动：师生共同分析点D在圆外的情况，利用元内接四边形对角互补进行证明。证明：如图4：假如过A,B,C,D十点不能做一个圆。过A,B,C三点作圆，若点D在圆外，设AD与元相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°。而知己∠B+∠D=180°，所以∠AEC=∠D。而∠AEC是△CED的外角，∠AEC>∠D。出现矛盾，故假设不成立。因此点D在过A,B,C三点的圆上。教师追问4：如图5，对于点D在圆内情况，你能自己完成证明吗？设计意图：在学生动手活动中，通过交流，让学生明确一个

8、问题的解决方案;在推测之后要进验证，通过证明，让学生感受数学的严谨性，感受到数学结论的确定性和证明的必要性，培养学生的推理能力。4.归纳反思，总结提升教师和学生一起回顾本节课所学的主要内容，并回答以下问题；（1）本节课你学到了什么知识?学到的知识能解决什么问题？（2）回顾本节课的学习过程，你是怎么得到上述知识的？你还有什么收获？设