鲁棒控制(H范数与Riccati)

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1、H∞范数与Riccati方程/不等式8/5/20211鲁棒控制系统描述Guy8/5/20212鲁棒控制哈密顿矩阵与黎卡提方程设，而且，即Q和R是对称的，则哈密顿(Hamilton)矩阵定义为：关于的矩阵方程：称为黎卡提(Riccati)方程。8/5/20213鲁棒控制其中且B为列满秩，C为行满秩。哈密顿矩阵与黎卡提方程考虑代数Riccati方程和相应矩阵H定义1：如果2n×2n矩阵H满足其中，则称H为Hamilton矩阵。8/5/20214鲁棒控制如果Hamilton矩阵H没有虚轴上的特征值，则H矩阵具有下述性质：若，i=1,2,…,n,则。即H的特征值以虚轴

2、、实轴对称。如果系统（A,B）能稳定，（C,A）能检测，则矩阵H没有虚轴上的特征值，且H的Jordan标准型为即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得哈密顿矩阵与黎卡提方程8/5/20215鲁棒控制定理：矩阵代数Riccati方程存在唯一解且使的充分必要条件是（A,B）能稳定，(C,A)能检测。若还有(C,A)能观测，则P>0.证明：充分性（1)解的存在性（2）解的对称性（3）为稳定矩阵（4）解的非负定性（5）解的唯一性必要性8/5/20216鲁棒控制X=Ric(H)和dom(Ric)的定义定义:满足黎卡提方程,并且使A－RX稳

3、定的X，称为黎卡提方程的稳定化解，用X＝Ric(H)表示。定义:若哈密顿矩阵H在虚轴上没有特征值，对应于稳定特征值的特征向量基满足式，其中X1是非奇异的，则H∈dom(Ric)。8/5/20217鲁棒控制有关哈密顿矩阵和黎卡提方程的结论结论1:若H∈dom(Ric)，X＝Ric(H)，则a)X＝XT；b)XA＋ATX－XRX＋Q＝0；c)A－RX是稳定的。结论2:如果H在虚轴上没有特征值，R是半正定的或半负定的对称矩阵，而且(A，R)是可稳定的，则H∈dom(Ric)。结论3:若(A,B)是可稳定的,(C,A)是可检测的,则哈密顿矩阵∈dom(Ric),X＝R

4、ic(H)≥0。当(C,A)为能观测时，则X＝Ric(H)>0成立。8/5/20218鲁棒控制关于H∞范数的定理(1)定理1：对于稳定传递函数G(s)=C(sI-A)-1B，定义哈密顿矩阵其中γ>0，则下述条件式等价的：a);b)H在虚轴上没有特征值；c)黎卡提方程具有半正定解X≥0。8/5/20219鲁棒控制关于H∞范数的定理(2)定理2：的充要条件是Mγ在虚轴上没有特征值。8/5/202110鲁棒控制H∞范数计算的步骤选择一个常数γ>0;计算哈密顿矩阵的特征值λi；若有λi在虚轴上，则增加γ，否则减少γ；通过折半搜索不断地进行迭代计算，可使γ的搜索快速收敛

5、于，并且具有任意的精度。8/5/202111鲁棒控制H∞范数计算的框图开始取两个满足的初始值γ1和γ2以及精度要求ε≥0结束noyesnoyes8/5/202112鲁棒控制关于H∞范数的两个基本定理(1)定理1：下述四个命题是等价的:b)哈密顿矩阵在虚轴上没有特征值；a)；c)黎卡提方程具有使稳定的半正定解X≥0；d)H∈dom(Ric)，Ric(H)≥0。8/5/202113鲁棒控制定理2：下述两个命题是等价的:a)；b)对于一个充分小的常数e>0，黎卡提方程具有正定解X﹥0。关于H∞范数的两个基本定理(2)8/5/202114鲁棒控制H∞范数与Riccat

6、i不等式设严格正则有理传递函数，则为稳定阵，且的充分必要条件为存在矩阵P>0，满足Riccati不等式8/5/202115鲁棒控制设严格正则有理传递函数，则为稳定阵，且的充分必要条件为且存在矩阵P>0，满足Riccati不等式其中8/5/202116鲁棒控制THANKYOU!8/5/202117鲁棒控制