几何中的最值问题（一）

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1、几何中的最值问题(一)东厦中学翁文銮最值问题：在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度，图形的周长或面积，角的度数以及它们的和与差）的最大值与最小值问题。方法一：应用垂线段最短求最值；例1：如图，圆O的半径OA=5cm，弦AB=8cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是cm.课堂练习一：1、如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90∘，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______.2、如图,点A的坐标为(−1,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短

2、时,点B的坐标为。3如图，圆O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切O于点Q，则PQ的最小值为()A. B. C. 3D. 2方法二、应用两点之间线段最短求最值；例2：如图，已知公路两侧有两村庄A、B，现要在公路上修一汽车站P，侧车站应建在何处才能使得PA+PB最短?4课堂练习二：（13年广东中考23题）已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的表达式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一

3、点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由.例3：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可得所走路径最短?课堂练习三：1、如图,在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm(结果不取近似值).42、（15年广东中考23题）如图，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.（1）求k的值；（2

4、）求点C的坐标；（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标。三、应用二次函数求最值。例4：正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥M，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大,最大面积为cm2。课堂练习四：（16年广东中考25题）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形?(2)请判断OA、

5、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0⩽x⩽2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值。4课外作业：1、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6.若点P在边AC上移动，则BP的最小值是。2、如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值为。1、如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是．4、如图,MN是半径

6、为1的O的直径,点A在O上,∠AMN=30∘,B为AN弧的中点,点P是直径MN上一个动点,则PA+PB的最小值为()A. B. C. 1D、2第1题第2题第3题第4题2、如图(1)，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1，0)、B(0，3)两点，与轴交于另一点C，顶点为D．(1)求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；(2)经过点B、D两点的直线与轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；(3)如图(2)P(2，3)是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．图(1)图

7、(2)4