三垂直模型--相似三角形专题

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1、三垂直模型相似三角形（教学设计）广州市东晓中学王智君一、学习目标1、掌握相似三角形的性质和判定，并能熟练运用三垂直模型解决问题。2、经历运用相似三角形的基础知识解决的过程，体验图形的运动以及方程等数学思想。二、授课（一）【导入新课】相似三角形在初中的应用非常广泛，用于线段、面积的计算；用于线段关系式、线段的数量关系、位置关系的证明。前段时间我们学习了相似三角形的A字形、8字形等模型的应用，今天我们继续探索相似三角形的性质和应用。（二）【探究活动】【探究1】构造格点三角形请在图1中画一个直角三角形ABC，满足条件：（1）以线段AC为斜边；（2）顶点B落在线段MT的格点上。

2、师问：怎样画出这样一个直角三角形？生答：用直角三角板，把直角顶点B放在线段MT的任一格点上，以点B为顶点旋转三角板，若使得两直角边与点A、点C同时重合，则三角形ABC为直角三角形了。师问：你能确定你这个三角形一定是直角三角形吗？生答：利用格点图，易知AC=5，AB=,BC=2,在利用勾股定理的逆定理，可以知道AB²+BC²=AC²,所以ΔABC必定为直角三角形。师说：由于题目要求∠ABC恒为90°，由此我们还可以考虑直径所对的圆周角也恒为90°。那么我们以线段AC为直径作圆，圆弧与线段MT交点，便为点B.师问：今天我们要研究不是ΔABC，而是ΔAMB与ΔBTC。请问ΔA

3、MB与ΔBTC相似吗?生答:相似。因为夹角为直角，两边对应成比例。【探究2】构造三垂直模型师问：我把图2中格线擦掉后，条件不变，依然在正方形中，且∠ABC=90°，请问图3中ΔAMB与ΔBTC这两个三角形还相似吗？依据呢？生答：相似，由于∠1+∠2=90°且∠1+∠2=90°，所以∠1=∠3，又因为∠M=∠T=90°,因此这两个三角形相似。师说：很好。我们利用同角的余角相等，易于得出这两个三角形有两组角相等，所以相似。这种有三个直角，其顶点都在同一直线上的，构成这种相似三角形，我们俗称三垂直模型。结论1：在三垂直模型中，至少有一对相似三角形。例题1：如图，在矩形ABCD

4、中，点E、F分别在边AD、DC上，∠BEF=90°，AB=6，AE=9，DE=2，求线段EF的长度。设计意图：利用三垂直模型，易于得到左右两个三角形相似，根据对应边成比例，求出相关线段。再利用勾股定理得出EF的长度。【探究3】构造折叠例题2：如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=6cm,AB=16cm,求BF的长。师问：折叠前后两个三角形有什么性质？生答：两个三角形全等，其对应边、对应角分别相等。师问：这道题的背景除了折叠，还有矩形四个角都为直角，对边相等外，图中还隐藏信息？生答：三垂直模型，相似。师说：对，图中有很多直角，构成的直

5、角三角形三边满足勾股定理。（三）下面我们研究一下三垂直模型中，出现三个三角形两两相似的情况。【探究4】探究相似例3：如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个点E，连接ED、EC,使得Rt∆CED、Rt∆DAE、Rt∆EBC，三个三角形两两相似。师说：在线段AB上找一点E,连结DE,发现DC//AB,则有一组内错角相等，又因为题目条件有2个三角形相似，已知∠DAB已是直角，则∠DEC必为直角。生说：我知道了，实际上就是以线段D

6、C为直径作圆就行了。师说：在这道题中，我们发现了一个性质。在三垂直模型中，当DC//AB时，得到的三个三角形两两相似。结论2:在三垂直模型中，当DC//AB时，得到的三个三角形两两相似。【探究5】如图4：将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处。若Rt∆EMC、Rt∆AME、Rt∆BEC，三个三角形两两相似，则请试探究AB和BC的数量关系。师问：本题出题的背景也是矩形，并且折叠，但是多了一个条件是三个三角形两两相似。现要求AB、BC两线段的数量关系。题目没有出现边角的具体数据，你们能在题目中找到隐藏的边角条件吗？2431师说：其实，在三垂直模型中，还有一种特

7、殊情况，就是当点E为AB的中点时，这三个三角形两两相似。请同学们回家想想为什么，想办法证明出来。结论3：在三垂直模型中，当点E为AB中点时，三个三角形两两相似。三、课堂检测：如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点P是AB上的一个动点，与点A、B不重合，过点P作PE垂直DP，交边BC于点E，设PA=x，BE=y。求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值。四、小结收获，交流归纳（1）由“三垂直模型”基本图形搭建桥梁可以得到相似三角形。（2）学习几何最重要是学会归纳一些简单的基本图形，学会从复杂的图形里提炼基本图形，