金融数学在投资中的应用案例分析

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1、摘要：wcstudythebest-knowncontinuoustimemodel,theBlack-SCHOLESMODEL.Thismodel,developedbyFischerBlackandMyronScholesin1973,describesthevalueofaEuropeanoptiononanassetwithnocashflows.Themodelhashadahugeinfluenceonthewaythattraderspriceandhedgeoptions.Ithasalsobeenpivotaltothegrowthandsu

2、ccessoffinancialengineeringinthe1980sand1990s.Themodelrequiresonlyfiveinputs:theassetprice,thestrikeprice,thetimetomaturity,therisk-freerateofinterest,andthevolatility.TheBlack-Scholesmodelhasbecomesthebasicbenchmarkmodelforpricingequityoptionsandforeigncurrencyoptions.Itisalsosomet

3、imesused,inamodifiedform,topriceEurodollarfuturesoptions,Treasurybondoptions,caps,andfloors.WecannotsaythatwehavemasteredoptionpricingtheoryunlessweunderstandtheBlack-Scholesformula.关键字：Black-ScholesmodelOptionpricingValueevaluation引言：期权是20世纪70年代中期在美国出现的-•种金融创新工具,30多年来，它作为一种防范风险和投机的

4、冇效手段而得到迅猛发展。1973年,Scholes.M发表了ThepricingofoptionsandCorporateLiabilities给出了一个期权定价公式，即Black-Scholes期权定价模型，推导岀基于红利股票的任何一种衍生证券的价格必须满足的微分方程，并成功地求解了该方程，因此而获得诺贝尔经济序奖。这项理论及具以后的多种变形,极人地推动了金融衍生工具市场的发展。在对套期保值或标的资产支付屮间红利的情况下，在B-S模型的基础上，作进一步的探讨，发现其修改公式对欧式期权的部分衍生产品仍可适用，还可反映红利对期权的影响，加强了此模型在实际中的应用

5、。正文：模型假设：1、期权标的资产为以风险资产股票，其市场价格遵循儿何布册运动。2、期权有效期内股票不支付红利。3、市场是冇效的。4、没有交易成本。5、在期权有效期内，无风险利率是常数。模型建立：假设股票价格为s,在一段吋间后，以概率p上涨到as（或以1-p降到bs）即将［0』］分成n等份，即0,-,—……血迎昇，令△=£nnnn假设在広討］对0心1,2，…斤服从二叉树模型。则当％Too,s为対数布朗运动。取67=”"，b=€°临Q>p=—(1+—Va)2a:空;豎，经过泌后，股票•次数记"敷，股价满足mabl~ms.=s,，则有虽=(-)F。令B⑴=曜虽，

6、则Bt｝为布朗运动。山b&wi~B⑴iog虽iog(—)b'=mlog£+〃logb=冷丄£(2y-1)s()b〃/=,E(y.)二p,Var(y)=p(l-p)一=川A24

7、严(几厂灯T"=E[I(5(/)-幻]en=0"[E[厶“]-kE⑴]引理：s^e2rt+--log（—）Z>c}]=p（Z>C）=①（-C）=①（0-（Ty[t）EtIJ=E[I{Z>e}S严皿]=se①9）将上述两式的结果代入：C（）=R"[E[/・]一肚（/）】=S①⑹）—①（0—6/7）（2）讨论股票波动率CF,股票价格$，无风险利率八执行价格K,到期时间（对期权定价Co的影响。当er,Si,r,/增加时，（1式的值增加），（2）式的值增加。当《都增加时，（2）式的值减小。所以C7,$，If和Co有同向的变化。K

8、和C（）有反向的变化。例题分析：设一只