江苏专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.4幂函数与二次函数教案含解析20190831114

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1、§2.4　幂函数与二次函数考情考向分析　以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为填空题，中档难度．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1图象性质定义域RRR{x

2、x≥0}{x

3、x≠0}值域R{y

4、y≥0}R{y

5、y≥0}{y

6、y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇

7、函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR14值域单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在x∈上单调递增；在x∈上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)

8、；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．提示　a>0且Δ≤0.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　)(3)函数是幂函数．(　×　)(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)(5)当n<0时，幂函数y＝xn是定

9、义域上的减函数．(　×　)题组二　教材改编2．[P89练习T3]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________.答案　解析　由幂函数的定义，知∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.143．[P40练习T3]已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是________．答案　(－∞，－3]解析　函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3.题组三　易错自纠4．幂函数

10、(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a＝________.答案　5解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5.5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．答案　－1解析　函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，∴ymin＝2－6＋3＝－1.6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a

11、(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)答案　>解析　f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0.题型一　幂函数的图象和性质1．已知幂函数(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．14答案　1解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐

12、标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是________．(用“>”连接)答案　a>b>c>d解析　由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.3．若，则实数a的取值范围是____________．答案　(－∞，－1)∪解析　不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a

13、x

14、)≤2的解集是________.x1f(x)1答案　[－4,4]解析　由题意知，＝α，∴α＝

15、，∴f(x)＝，∴f(

16、x

17、)＝，由≤2，得

18、x

19、≤4，故－4≤x≤4.思维升华(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2