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《山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第32章勃罗卡定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第32章勃罗卡定理勃罗卡(Brocard)定理凸四边形ABCD内接于DO,延长AB、DC交于点E.延长BC、AD交于点F.AC与BD交于点G.联结EF,则0G丄EF.证法1如图32-1,在射线EG上取一点N,使得N,D,C,G四点共圆(即取完全四边形ECDG4B的密克尔点N),从而B、G、N、A反E、D、N、B分别四点共圆.图32-1分别注意到点£、G对口0的幕，口0的半径为则EGEV=ECED=OE2-R2.EGGN=BGGD=R2—OG?.以上两式相减得EG2=OE2-R2-(r2—OG2),即OE2-EG2=2R2-OG2.同理，OF2-FG2=2R1-OG
2、2.又由上述两式，有OE2-EG2=OF2-FG2.于是，由定差幕线定理，知OG丄EF.证法2如图32-1,注意到完全四边形的性质.在完全四边形ECDGAB屮，其密克尔点"在直线EG上，且ON丄EG,由此知N为过点G的:]0的弦的中点，亦即知0,N,F三点共线，从而EN丄OF.同理，在完全四边形FDAGBC中，其密克尔点厶在直线FG上，且。厶丄FG,亦有F厶丄0E.于是，知G为AOEF的垂心，故OG丄EF.证法3如图32-1.注意到完全四边形的性质，在完全四边形ABECFD中，其密克尔点M在直线EF上，且0M丄EF.联结BM、CM>DM、OB、OD.此吋，由密克尔
3、点的性质，知E、M、C、B四点共圆，M、F、D、C四点共圆，即有ZBME=ZBCE=ZDCF=Z.DMF,从而Z.BMO-ZDMO=90°-ZDMF=90°-Z.DCF=90°-(180°一ZBCD)=ZBCD一90°(1>1=180°——ZBOD-90°=90°——ZBOD=ABOD,I2丿2即知点M在HOBD的外接圆上.同理，知点M也在△Q4C的外接圆上，亦即知OM为1OBD与口Q4C的公共弦.由于三圆UOBD,UOAC两两相交，由根心定理，知其三条公共弦BD,AC,OM共点于G.即知O,G,M共线，故OG丄EF・该定理有如下推论推论1凸四边形ABCD内接于0
4、O,延长AB.DC交于点E,延长BC、AD交于点F,AC与BD交于点G,直线OG与直线EF交于点M,则M为完全四边形ABECFD的密克尔点.事实上，若设AT为完全四边形ABECFD的密克尔点，则AT在EF上，且OMfX.EF・由勃罗卡定理，知OG丄EF,即OM丄EF.而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直，从而0M与0M'重合，即M与M'重合.推论2凸四边形A3CD内接于圆，延长AB.DC交于点E,延长BC、AD交于点F,AC与BD交于点G,M为完全四边形ABECFD的密克尔点的充要条件是GM丄EF于M・推论3凸四边形ABCD内接于圆0,延反43、DC交于点E,延
5、长BC、AD交于点F,AC与BD交于点、G,则G为△OEF的垂心.事实上，由定理的证法2即得，或者由极点公式：EG2=OE2+OG2-2R2,FG2=OF2+OG2-2R2fEF2=0E2+OF2-2R-两两相减，再由定差幕线定理即证.下而给出定理及推论的应用实例.例1（2001年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点P,Q,两对角线交于点R,则圆心O恰为△PQR的垂心.事实上，由推论3知/?为△OPQ的垂心，再由垂心组的性质即知。为△P0?的垂心.例2如图32-2,凸四边形ABCD内接于□O,延长ABfDC交于点E,延长BC,4D交于点F,
6、AC与BD交于点P,直线OP交EF于点G.求证：ZAGB=ZCGD.证明由勃罗卡定理知，OP丄EF于点G・延长AC交EF于点Q,则在完全四边形ABECFD中，点P,0调和分割AC,从而GA,GC,GP,GQ为调和线束，而GP丄GQ,于是GP平分ZAGC,即ZAGP=ZCGP.延长交直线EF于点厶（或无穷远点厶），则知厶，P调和分割3D,同样可得ZBGP=ZDGP.故ZAGB=ZCGD.例3（2011年全国高中联赛题）如图32-3,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于/V,直线CD与AB交于点
7、M•求证：若OKA.MN,则A,B,D,C四点共圆.()•图32-3证明用反证法.若A,B,D,C四点不共圆，则可设△ABC的外接圆口0与直线AD交于点E,直线CE交直线于P・直线BE交直线AC于0・联结PQ,则由勃罗卡定理，知0K丄PQ.由题设，0K丄MN,从而知PQ〃M7V.即有些=竺.①QNPM对△/VD4及截线BEQ,对及截线CEP分别应用梅涅劳斯泄理有墜•坐.些=1BDEAQN口MCDEAPt及=1.CDEAPM由①，②得NBMC~BD~^CD再应用分比定理，有凹=巴2,BDDC从而△DMNsHDCB・于是，ZDMN=ZDCB.即有BC〃MN,从而OK丄
8、BC,得到
