山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第28章戴沙格定理

《山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第28章戴沙格定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第28章戴沙格定理戴沙格定理已知两个三角形的三双对应顶点的连线交于一点，若它们的三双对应边分别相交，则这三个交点在一条直线上．其逆命题亦成立．证明先证原命题：设和的三双顶点的连线、、交于点，它们的三双对应边的交点分别是、、．分别对及截线、及截线、及截线应用梅涅劳斯定理有，，．将上述三式相乘，得．对逆用梅理劳斯定理，即知、、三点共线．再证逆命题：设与的三双对应边的交点分别是、、，两双对应顶点的连线与交于点，要证第三双顶点对应连线也通过点，即、、三点在一条直线上．事实上，与的三双对顶点连线、、交于点，利用已证得的原命题可以得

2、到：这两个三角形三双对应边交点的连线中，与的交点、与的交点、与的交点是在同一条直线上．这就是所要证的．在这里，若两双对应顶点的连线与平行，则可证得直线也与平行，否则若有直线与交于一点，则由上述逆命题中同样的理由，得直线也过点，与与平行矛盾．于是，我们便有如下结论：戴沙格定理的逆定理若两三角形的对应边（所在直线）交点共线，则对应顶点的连线交于一点或互相平行．观看图中的两个三角形、，我们可以用透视的观点看待它．一般地，有如下的定义：单墫译．[美]约翰逊，近代欧氏几何．上海：上海教育出版社.2000：202．定义平面上两个图形

3、称为互相透视的，如果（i）联结对应点的直线交于一点，称为透视中心．（ii）对应线的交点在一条直线上，称为透视轴．如上定义的一种特殊情形，即为对应边互相平行的相似形，这时透视轴是无穷远直线，透视中心是位似中心，更一般的透视图形的存在性，由戴沙格定理建立．戴沙格定理设两个三角形有透视中心，则它们有透视轴．反过来，设两个三角形有透视轴，则它们有透视中点．对于三个三角形，我们有如下的结论：定理1设三个三角形有公共的透视中心，则它们的三条透视轴共点．事实上，设三个三角形、、，则、、为共点的直线．我们将三角形的边用与所对顶点相同的小

4、写字母表示，考虑边为、、与、、的三角形，它们的对应边相交于共线点、、，所以对应顶点的连线共点．但联结、的交点与、的交点的直线，是与的透视轴，等等．所以这三条轴共点．定理2设三个三角形两两互为透视，并且有一条公共的透视轴，则它们的透视中心共线．这个定理及各种逆定理的证明较易，留给读者．对于完全四边形，我们也有如下的结论：定理3边是一个完全四边形的边的每一个三角形，与这个完全四边形的对角三角形成透视．事实上，这两个三角形以完全四边形的第四条边为透视轴．更一般地，设一个完全四边形的两条对角线的交点与剩下的两个顶点相连，则这样的

5、六条连线中，三条交于一点，产生四个新点，因而形成一个完全四角形（即包括四条边，两条对角线的图形）．于是，每个完全四边形必有一个相伴的完全四角形，具有同样的对角三角形；反过来也成立．过这完全四边形的每个顶点，有完全四角形的一条边，这完全四角形的每一个三角形，与完全四边形的一个三角形及对角三角形成透视，公共的透视中心是完全四角形的第四个顶点，透视轴是完全四边形的第四条边．下面，看看戴沙格定理的一些应用．例1（1999年高中联赛题）如图，在四边形中，对角线平分，在上取一点，与交于点，延长交于．求证：．证明当时，四边形是筝形，结

6、论成立．当时，过作的垂线与、的延长线分别交于点、．由，可证、的交点在上．注在与中，因与的交点为，与的交点为，与的交点为，且、、共线，则由戴沙格定理的逆定理知、、三线共点．设该点为．设与交于点，在完全四边形中，、调和分割．从而、、、为调和线束，而．故平分．于是．注：设与交于点，只要证、、三点共线即可．连，，作于交于，作于，交于．由及平分，易知，有．①又由，有．②中．③由①、②、③可得,而，则．从而．故、、共线，即、、共线．例2（布利安香定理）六点连线所组成的平面封闭图形中，若六条边与一个圆内切，则它的三条对角线共点或彼此平

7、行．证明如图，设、、、、、是六边形在圆上的切点，由牛顿定理知．过切点、、、的四边形有、、共点于；过切点、、、的四边形有、、共点于；过切点，、、的四边形有、、共点于；过切点、、、的四边形有、、共点于．又折四边形有旁切圆，由牛顿定理的推广（见第29章定理2）有、、、共点于．所以和对应边的交点、、共线，由戴沙格定理的逆定理，知其对应顶点的连线、、三点共点或相互平行，即、、共点或相互平行．例3（2008年印度国家队选拔考试题）设是非等腰三角形，其内切圆为，圆与三边、、分别切于点、、．若、、分别与、、交于点、、，、、的中点分别为、

8、、．证明：、、三点共线．证明如图，设、、的中点分别为、、，则，且直线过点；．且直线过点；，且直线过点．因，则知平分．同理，、分别平分、，且、、交于的内心．在和中应用戴沙格定理得，其对应边与、与、与的交点、、三点共线．例4（2003年保加利亚数学奥林匹克题）设是锐角的高线上的任一点，直线、分别交、于点、．（1）证明：；