5、B上的一交，腿、BY.CZ所在弐线交于一sin'ACZsinsin=点的充要条件是一zz1sinZCBsinXACsinYBA（张角定理）如图，从一点出发三条射线与一条直线相交，截得三条线段的长分别为a、b、t（t在a、b之间则a+PaP=+sin（）sinsin定理6（分角定理）如图,apasinPqbsin(蝴蝶定理)AB是。0的弦，M是其中点，弦DE交AB于P、Q,求证：MP=QMCD、EF经过M,CF、(Simsonline)P是ZkABC的外接圆OO上的任意一点,PZ丄AB,垂足淪Y、乙求证：X、Y、Z三点共线PX丄BC,
6、PY丄CA,(Eulerline)三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半广Btolemy定理定理：对于一般的四边形ABCD,有AB-CD+AD・BC>AC-BD.当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立证明：取点E,使nABE=nDBC,nBAE=zBDC,(旋转方向相同贝iJaaBE-aDBC,・•・证明：取点E,使nABE=zDBC,zBAE=nBDC,(旋转方向相同贝iJaaBE-aDBC,ABAEABBE•—BDDC'bdBC/.AB・CD=AE・BD；①AB=BE,nABD=2:EBC
7、,△ABD"EBC,BDBCAD=BD,AD・BC=EC-BD.②ECBCBD.①+②：AB-CD+AD-BC=AE*BD+EC-BD=(AE+EC)BD>AC-等号当且仅当E在线腿上时成立，此时四边形ABCD为圆内接四边形.三角形的费爲定理（Fermatpoint）分别以△ABC的三边AB,BC,CA为边向形外作正三角形ABD,BCE,CAH,则此三个三角形的外接圆交于一点.此点即为三角形的Fermatpoint・分析证三圆共点，可先取二圆的交点，再证第三圆就点.证明：如图，彊ABD与。ACH交于（异于点A的）点F,则由A、F、B
8、、DAFB=120AFC=120°,于是zBFC=120。，故得B、E、GF四点共圆.即证.由此得以下推论：AFB+zBFE=180°,于是A、F、1、A、F、E三点共线；BFE=zBCE=60E三点共线.同理，C、F、D三点共线B、F、H三点共线.2、AE、BH、CD三线共点.3、AE=BH=CD=FA+FB+FC・由于，F在正三角形BCE的外接圆的叫上，故由Ptolemy定理，有FE=FB+FC・于是AE=AF+FB+FC・同理可证BH=CD=FA+FB+FC.也可用下法证明：在FE上取点N,使FN=FB,團，由zFBN为正三角
9、形，可证得/BNE奧/BFC・于是得，NE=FC・故AE=FA+FN+NE=FA+FB+FC.（Steiner題）在三个角都小于120。的ZkABC所在平面上求一点P,使PA+PB+PC取得最小值.E证明：跛为平面上任意一点，作等边三角形PBM（如图谢E,则由BP=BM,BC=BE,zPBC=zMBE=60。一zMBC・BPC奧△BME,于是ME=PC,故得折线APME=PA+PB+PC>AE=FA+FB+FC・即三角形的Fermatpoint就是所求的点.说明：本题也可用Ptolemy的推广来证明：由PBCE+PCBE>PEBC,
10、可得，PB+PC>PE.于是PA+PB+PCnPA+PE>AE・结论：到三个角都小于120。的三角形三顶点距离之和最小的点费爲.
