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1、•圆幕定理：1.相交弦定理；2.切割线定理;3.割线定理；4.切线长定理.这儿个定理合起来叫“圆幕定理”：从一点P（不在。0上）引岀的两条直线分别交O0于点A、B及C、D,则PA・PB=PC・PD其中d=
2、PO
3、,r为O0的半径.把称为点P对园0的幕.定理l（Ptolemy定理）对于圆内接四边形ABCD,有AC・BD=AB・CD+AD・BC.反之亦真.•Ptolemy定理的各种形式：1.三弦定理：设A为（DO上的一点，AB、AC、AD为（DO的顺次三条弦，则ACsinZBAD=ABsinZCAD+ADsinZBAC.2.四角定理：设ABCD为G)0的内接四边形
4、，则sin(a+P)sin(a+丫)=sinasin6+sinBsinY・3.直线上的Ptolemy定理：设A、B、C、D的直线上顺次四点，则AC・BD=AB・CD+AD・BC.4.任意四边形的Ptolemy定理：对于任意四边形ABCD,有AC・BDWAB・CD+AD・BC.等号当且仅当四边形ABCD内接于圆时成立。•（Ceva定理）设X、Y、Z分别为ZABC的边BC、CA、AB上的一点，贝ljAX、BY、CZ所在直线交于-点的充要条件是鈴•鈴•寻7（Ceva定理的角元形式）：设X、Y、Z分别为AABC的边点的充要条件是BC、CA、AB上的一点，则AX、BY
5、、CZ所在直线交于一sinZZCBsinZXACsinZYBA（张角定理）如图，从一点出发三条射线与一条直线相交，截得三条线段的长分别为a、b、t（t在a、b之间）,则sin（o+0）_sinasin0tba定理6（分角定理）如图,p_tzsinaqbsin0•(蝴蝶定理)AB是O0的弦，M是其中点，弦CD、DE交AB于P、Q,求证：MP=QM•(Simsonline)P是AABC的外接圆G)O上的任意一点，PX丄BC,PY丄CA,PZ丄AB,垂足为X、Y、乙求证：X、Y^Z三点共线•(Eulerline)三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等
6、于重心与垂心距离的一半•广义Ptolemy定理定理：对于一般的四边形ABCD,有AB・CD+AD•BC^AC・BD.当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立.证明：取点E,使ZABE=ZDBC,ZBAE=ZBDC,（旋转方向相同）.则厶ABE^ADBC,・•・证明：取点E,使ZABE=ZDBC,ZBAE=ZBDC,（旋转方向相同）.则厶ABE^ADBC,ABAEABBE•・•・AB・CD=AE・BD；①丄ABBE/AA由——=——，ZABD=ZEBC,AABD^AEBC,BDBCADBD_ECBC①+②:AB・CD+AD・BC=AE・BD+EC・BD=（AE+
7、EC）BD2AC・BD.等号当且仅当E在线段AC上时成立，此时四边形ABCD为圆内接四边形.•三角形的费马点定理（Fermatpoint）分别以AABC的三边AB,BC,CA为边向形外作正三角形ABD,BCE,CAH,则此三个三角形的外接圆交于一点.此点即为三角形的Fermatpoint.分析证三圆共点，可先取二圆的交点，再证第三圆过此点.证明：如图，设OABD与OACH交于（异于点A的）点F,则由A、F、B、DZAFB=120°ZAFC=120°,于是ZBFC=120°,故得B、E、C、F四点共圆.即证.由此得以下推论：1>A、F、E三点共线；ZBFE=ZB
8、CE=60°ZAFB+ZBFE=180°,于是A、F、E三点共线.同理，C、F、D三点共线；B、F、H三点共线.2、AE、BH、CD三线共点.3、AE=BH=CD=FA+FB+FC・由于，F在正三角形BCE的外接圆的弧BC上，故由Ptolemy定理，有FE=FB+FC.于是AE=AF+FB+FC.同理可证BH=CD=FA+FB+FC.也可用下法证明：在FE上取点N,使FN=FB,连BN,由ZFBN为正三角形，可证得NBNEMZBFC.于是得，NE=FC.故AE=FA+FN+NE=FA+FB+FC.•（Steiner问题）在三个角都小于120°的AABC所在平面
9、上求一点P,使PA+PB+PC取得最小值.证明：设P为平面上任意一点，作等边三角形PBM（如图）连ME,则由BP=BM,BC=BE,ZPBC=ZMBE=60°-ZMBC.得△BPC9ZXBME,于是ME=PC,故得折线apme=pa+pb+pc2ae=fa+fb+fc.即三角形的Fermatpoint就是所求的点.说明:本题也可用Ptolemy的推广来证明:由PBCE+PC・BE$PE・BC,可得，PB+PCMPE.于是PA+PB+PC2PA+PENAE.结论：到三个角都小于120°的三角形三顶点距离之和最小的点一一费马点.
