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1、关于矩阵的若干构造问题【内容简介】本文讨论了一些与矩阵相关的构造问题，这些问题在大多数的介绍矩阵代数的卩中都被忽视了。然而这些问题却是值得我们认真思考的，并门有助于我们更好地理解矩阵的性质。这些问题都是作者在学习矩阵代数的过程屮遇到并认真思考过的，木文即是作者对这些问题的一些看法，希望能给读者一些启发。当然，没有他人的优秀的作品的帮助,是什么也做不了的。在本文末尾列出了作者在思考这些问题和写作本文吋参考过的文献。问题1给定非零n阶矩阵A,构造一矩阵B,使得AB=0o当A可逆时，易知B=0,这吋问题是平凡
2、的。下面我们假设A不可逆，这吋B=0当然是满足要求的一个矩阵。但我们对这样的平凡解并不感兴趣，我们要问是否存在非零矩阵B,使得AB=O?这时问题变得复杂一些，我们先从简单的问题开始。求解矩阵方程(本质上是一个线性方程组)Ax=O,这里x是nXl矩阵，这是容易做到的事情。因为A不可逆，Ax=O的解集是n维向量空间的一个非零子空间。这样，我们可以找到任意多个互不相同的nXl矩阵x使得Ax=O成立。通过上血简单的分析，原來的问题已变得非常明阴了。我们只耍取这样的B,使得它的每一列都是方程Ax=O的解，则冇AB
3、=Oo由于Ax=O冇无穷多个互不相同的解，所以B可以是任意nXm向量，其中m为任意正整数，且B的每一列可以是互不相同的。例如，设/1斗5A—f—L—2—13]399一1财可求得Ax=O的一般解为(知-丸-2$+兀Sjr)分别取s为2、1、3、1,t为・1、・1、1、1,得到66g77乌I1'T-111/可直接验证AB=Oo上而的分析过程对任意mXn矩阵A也是可行的。原问题到这里算是完全解决了，但是我们还可以引中出其它类似的问题。例如，对给定的矩阵A,构造一非零矩阵B使得BA=O(注意上面是AB=0)o
4、这个问题又要如何解决呢？这时可先构造一非零矩阵C,使A7C=O,再令B=M即可。现在我们还可以从原问题中发掘出什么有用的信息吗？例如，当两个矩阵A、B满足AB=0时，可以推出关于A和B的什么信息呢？现设AB=O,A是mXn阶矩阵，且B是nXs矩阵。记Ax=O的解空间为Null(A)o由以上的分析可知B的每一个列向量都是方程Ax=O的解。即B的每一列向量都屈于Null(A),于是B的列空间的维数不超过Null(A)的维数dim(Null(A))。乂B的列空间的维数等于B的秩rank(B),有rank(B)
5、l)我们先从最简单的开始。设A为2阶矩阵，即若b^O,则aa2这个矩阵A至少有一个元素不为0,满足问题的要求。且可以使得A存在元素不全为零的行或列。
6、当nA2时，上面的方法已经不适用。为解决这个问题，下面推出满足f=0的矩阵A的一个性质。记点=6“a2/・・・》吐)，则Asj=O1£i£n.即A的每一个列向量西都属于方程Ax=0的解空间NullA,从而dim(ColA)l),则有rank(A)笛。这实际上是性质1的简单推论。下面应用这个性质解决n=3吋的情况。设
7、A为3阶矩阵，由性质2,A的秩至多为1。于是可设(aAa
8、iabAbublcAcuc/■由r=0,得a(a+Ab+pc)=0b(a+Ab+nc)=0c(a+Ab+nc)=0解上述方程组口J得到非零A。则a+Ab+pc=0,得例如，分别取a、b、c、入、儿为1、・1、2、3、1,a=(AiA)262/可直接验证疋=0。下面用2阶和3阶矩阵构造出更高阶的满足问题要求的矩阵。假设m阶矩阵M满足疋=0,这时我们当然可以构造阶数比M大的n阶矩易知劈=O,但这样的构造太过平凡。我们希望构造一个满足要求的矩阵A,
9、且它的每行每列元素都不全为零。我们再假设2阶矩阵N满足N2=0,则炬阵显然满足问题的要求，且只要M、N的每行每列元素均不全为零，上而构造的矩阵的每行每列元素也不全为零。这就是我们想要的矩阵Ao再结合我们前面已经构造的满足要求的2阶和3阶矩阵，就可以构造出任意阶的每行每列元索不全为零矩阵了。当然我们在这里不考虑1阶矩阵。但我们还可以对问题加上更多的要求，例如能否使得所构造的矩阵存在这样的行或列，它的每一元素均不为零，或者，要求更高一些，所构造
