初中数学竞赛辅导七年级三求代数式的值

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1、第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算,求出代数式的值,是一个由一般到特殊的过程.具体求解代数式值的问题时,对于较简单的问题,代入直接计算并不困难,但对于较复杂的代数式,往往是先化简,然后再求值.下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧.例1求下列代数式的值:1113(1)5ab-4—a5b?-2—ab+—a3b2-2ab-a2b一5其中方=l,b=2424-2;(2)3x2y-{xyz-(2xyz-x'z)-4x2z+[3x2y・(4xyz-5x2z・3xyz)]},其中x=-1,y=2,z=-3・分析上面两题均可直接代入求值,但会很麻烦,容易出

2、错.我们可以利用已经学过的有关概念、法则,如合并同类项,添、去括号等,先将代数式化简,然后再求值,这样会大大提高运算的速度和结杲的准确性.解〔1)原式=^5ab-2^-ab-2

3、-abj+卜出+列沁=0-4a3b2-a2b-5=-4Xl3X(-2)2-12X(-2)-5=-16+2-5-19.(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x‘?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x-z)=(3x2y-3x2y)+(・xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4xJz・5x'z)=2xvz・2x

4、'z二2X(-1)X2X(-3)-2X(-1)2X(-3)=12+6=18.说明木例中(1)的化简是添括号,将同类项合并后,再代入求值;(2)是先去括号,然后再添括号,合并化简后,再代入求值.去、添括号时,一定要注意各项符号的变化.例2已知a-b=-l,求a3+3ab-b3的值.分析由已知条件a-b=-l,我们无法求出a,b的确定值,因此本题不能像例1那样,代入a,b的值求代数式的值.下面给出木题的五种解法.解法1由a-b=-l得沪b・l,代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-l)3+3(b-l)b-b3=b3-3b2+3b-l+3b2-3b-b3=-1.说明

5、这是用代入消元法消去a化简求值的.解法2因为a-b=-l,所以原式二(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1X(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab二(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1.说明这种解法是利用了乘法公式,将原式化简求值的.解法3因为a-b=-l,所以原式二a-3ab(-l)-b-aL3ab(a-b)-b1=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3二(・1)咗・1.说明这种解法巧妙地利用了-l=a-b,并将3ab化为-3ab(-l)=-3ab(a-b),从而凑成了(a-b)3.解法4

6、因为a-b=-l,所以即a3+3ab2-3a2b-b3=-l,a-b-3ab(a-b)=-l,所以a3-b3-3ab(-1)=4,B

7、Ja3-b3+3ab=-l.说明这种解法是由a・b二1,演绎推理出所求代数式的值.解法5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-l)3+3ab(-l)+3ab二・1.说明这种解法是添项,凑出(a-b)S然后化简求值.通过这个例题口J以看出,求代数式的值的方法是很灵活的,需要认真思考,才能找到简便的算法.在本例的各种解法屮,用到了几个常用的乘法公式,现总

8、结如下:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b::;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3;a5+b-(a+b)(a2-ab+b2);a-b3=(a-b)(a2+ab+b~)・例3己知旦=2,求代数式&_?+3y的值.x+y一x+3xy—y解由己知,xy二2(x+y),代入所求代数式屮,消去xy,然后化简.所3x-5xy+3y_3x+xy-5X2(x+y)-x+3xy-y-x-y+3X2(x+y)_3(x+y)-10(x+y)-(x+y+6(x+y))__7(x+y)_7=5(z+y)=_

9、§例4己知w=3b,c=5a,求一―的值.a+b-c解因为a二3b,所以c=5a=5X(3b)=15b.将a,c代入所求代数式,化简得a+b+c__(3b)+b+(15b)_19b_19a+b-c~(3b)+b_(15b)~Hb~~TT'―2例5己知m,x,y满足条件:(1)^-(x-5)2+5

10、m

11、=0;一扫2+(2)・2/0与%咛是同类项.求代数式0.375x2y+5m2x-看X2y_3.475xy2jj-6275a

12、的值.解因为(x-5)2,Iml都是非负数,所以由⑴有(忍・5)2=0,ImI=0.解得x=5,m=0.由⑵得y+1二3,所以y二2.下面先化

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