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1、典型例题比较大小 例1、比较下列各组数的大小: (1)和; (2)和; (3)和;(4)和,. 分析:当两个幂形数底数相同时,要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数,借助函数的单调性来比较大小. 解:(1)在上是减函数,又,故<. (2)=,由的单调性可得,>即>. (3)由>1而<1,可知>. (4)当时,<,当时,>. 小结:此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值,此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小,而(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂,可构造指数函数来比较大小.根据条件比较字母的大小 例1
2、、比较下列各组数的大小: (1)若,比较与; (2)若,比较与; (3)若,比较与; (4)若,且,比较a与b; (5)若,且,比较a与b. 分析:设均为正数,则,即比较两个正数的大小,可比较它们的商与1的大小.掌握指数函数的图象规律,还要掌握底的变化对图象形状的影响.这主要有两方面:其一是对;对.用语言叙述即在y轴右侧,底越大其图象越远离x轴;在y轴左侧,底越大,其图象越接近x轴.这部分内容即本题(2),(3)所说的内容.其二是当底均大于1时,底越大,其图象越接近y轴;当底均小于1时,底越小,其图象越接近y轴.一个便于记忆的方法是:若以离1远者为底,则其图象接近y轴.当然这是
3、指底数均大于1或均小于1.这部分内容即本题(4)与(5). 解:(1)由,故,此时函数为减函数.由,故. (2)由,故.又,故.从而. (3)由,因,故.又,故.从而. (4)应有.因若,则.又,故,这样.又因,故.从而,这与已知矛盾. (5)应有.因若,则.又,故,这样有.又因,且,故.从而,这与已知矛盾. 小结:比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.根据图象比较底数大小 例1、(1)指数函数①②满足不等式,则它们的图象是(). 分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 解:由可知①②应为两条递减的
4、曲线,故只可能是或,进而再判断①②与和的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令,①②对应的函数值分别为和,由可知应选. (2)曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是( ). ( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选. 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.化简 例1、已知,试把用含的式子表示出来,并化简. 分析:此题涉及指数式的变换和分类讨论的使用. 解:由可知, =, 当时,若,则,
5、此时, 若,则,此时. 当时,. 当时,若,则,此时, 若,则,此时. 小结:此题中涉及对根式的化简,绝对值的概念及指数函数单调性的使用,特别是对和的讨论要分清楚.利用换元法求最值 例1、设,求函数的最大值和最小值. 分析:注意到,设,则原来的函数成为,利用闭区间上二次函数的值域的求法,可求得函数的最值. 解:设,由知, ,函数成为,,对称轴,故函数最小值为,因端点较距对称轴远,故函数的最大值为. 小结:换元法是一种常用的数学方法,在涉及指数形式的换元时,经常用到诸如,等.二次函数在有界区间上求最值时,可以借助于图形求解.选题角度: 比较大小、根据条件比较字母的大小、
6、根据图象比较底数大小、利用换元法求最值求函数单调区间及值域、求函数的定义域、人口增长、讨论字母求单调区间、指数函数图象的变换。