指数函数典型例题

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1、典型例题比较大小　　例1、比较下列各组数的大小:　　(1)和; (2)和; 　　(3)和;(4)和,.　　分析:当两个幂形数底数相同时,要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数,借助函数的单调性来比较大小.　　解:(1)在上是减函数,又,故<.　　(2)=,由的单调性可得,>即>.　　(3)由>1而<1,可知>.　　 (4)当时,<,当时,>.　　小结:此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值,此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小,而(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂,可构造指数函数来比较大小.根据条件比较字母的大小　　例1

2、、比较下列各组数的大小：　　（1）若，比较与；　　（2）若，比较与；　　（3）若，比较与；　　（4）若，且，比较a与b；　　（5）若，且，比较a与b．　　分析：设均为正数，则，即比较两个正数的大小，可比较它们的商与1的大小．掌握指数函数的图象规律，还要掌握底的变化对图象形状的影响．这主要有两方面：其一是对；对．用语言叙述即在y轴右侧，底越大其图象越远离x轴；在y轴左侧，底越大，其图象越接近x轴．这部分内容即本题（2），（3）所说的内容．其二是当底均大于1时，底越大，其图象越接近y轴；当底均小于1时，底越小，其图象越接近y轴．一个便于记忆的方法是：若以离1远者为底，则其图象接近y轴．当然这是

3、指底数均大于1或均小于1．这部分内容即本题（4）与（5）．　　解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．　　（2）由，故．又，故．从而．　　（3）由，因，故．又，故．从而．　　（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．　　（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．　　小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．根据图象比较底数大小　　例1、(1)指数函数①②满足不等式,则它们的图象是().　　　　　　　　分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.　　解:由可知①②应为两条递减的

4、曲线,故只可能是或,进而再判断①②与和的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令,①②对应的函数值分别为和,由可知应选.　　(2)曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是( ).　　 　　　　　　(　　分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选.　　小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.化简　　例1、已知,试把用含的式子表示出来,并化简.　　分析:此题涉及指数式的变换和分类讨论的使用.　　解:由可知,　　=,　　当时,若,则,

5、此时,　　若,则,此时.　　当时,.　　当时,若,则,此时,　　若,则,此时.　　小结:此题中涉及对根式的化简,绝对值的概念及指数函数单调性的使用,特别是对和的讨论要分清楚.利用换元法求最值　　例1、设，求函数的最大值和最小值．　　分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．　　解：设，由知，　　，函数成为，，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为．　　小结：换元法是一种常用的数学方法，在涉及指数形式的换元时，经常用到诸如，等．二次函数在有界区间上求最值时，可以借助于图形求解．选题角度：　　比较大小、根据条件比较字母的大小、

6、根据图象比较底数大小、利用换元法求最值求函数单调区间及值域、求函数的定义域、人口增长、讨论字母求单调区间、指数函数图象的变换。