指数函数典型例题详细解析

《指数函数典型例题详细解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、指数函数·例题解析第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：解(1)定义域为{x

2、x∈R且x≠2}．值域{y

3、y＞0且y≠1}．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x

4、x≥－2}，值域为{

5、y

6、y≥0}．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x

7、x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，1.指数函数Y=ax（a>0且a≠1）的定义域是R，值域是（0，+∞）2.求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a≠0)3.求函数的值域:①利用函数Y=ax单调性②函

8、数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2)先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)【例2】（基础题）指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．【例3】（基础题）比较大小：(3)4.54.1________3.73.6解(3)借助

9、数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.

10、74.1)，如例2中的(3)．例题4（中档题）9【例5】（中档题）作出下列函数的图像：图像变换法(3)y＝2

11、x-1

12、　(4)y＝

13、1－3x

14、解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2

15、x

16、的图像，再把y＝2

17、x

18、的图像向右平移1个单位，就得y＝2

19、x-1

20、的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，

21、把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)例6（中档题）：用函数单调性定义证明：当a＞1时，y=ax是增函数.【解析】设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2=x1+h(h＞0，h∈R)，很独特的方式则有，∵a＞1，h＞0，∴，∴，即故y=ax(a＞1)为R上的增函数，同理可证0＜a＜1时，y=ax是R上的减函数.指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析）二次函数为内层函数，指数函数为外层函数例题7中档题）变式1求函数y=（）的单调区间，并证明之.解法一（在解答题）：

22、在R上任取x1、x2，且x1＜x2，则==（）（x2－x1）（x2+x1－2）【（）为底数，红色部分为指数】，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，则＞1.∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增.当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即＜1.（此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性）∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调

23、递减.综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）：设：则：对任意的，有，又∵是减函数∴∴在是减函数对任意的，有又∵是减函数∴∴在是增函数在该问题中先确定内层函数（）和外层函数（）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.变式2已知且，讨论的单调性.【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，指数，当≥时是减函数，≤

24、时是增函数，而的单调性又与和两种范围有关，应分类讨论.【解析】设，则当≥时，是减函数，当≤时，是增函数，又当时，是增函数，当时，是减函数，所以当时，原函数在上是减函数，在上是增函数.当时，原函数在上是增函数，在上是减函数.【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.第二课时例题8：（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数换元法先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围)当x＝0时，