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时间:2018-10-16
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1、指数函数·例题解析第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域:解(1)定义域为{x
2、x∈R且x≠2}.值域{y
3、y>0且y≠1}.(2)由2x+2-1≥0,得定义域{x
4、x≥-2},值域为{
5、y
6、y≥0}.(3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x
7、x≤2},∵0≤3-3x-1<3,1.指数函数Y=ax(a>0且a≠1)的定义域是R,值域是(0,+∞)2.求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a≠0)3.求函数的值域:①利用函数Y=ax单调性②函
8、数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2)先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)【例2】(基础题)指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]A.a<b<1<c<dB.a<b<1<d<cC.b<a<1<d<cD.c<d<1<a<b解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.【例3】(基础题)比较大小:(3)4.54.1________3.73.6解(3)借助
9、数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y1=4.5x,y2=3.7x的图像如图2.6-3,取x=3.6,得4.53.6>3.73.6∴4.54.1>3.73.6.说明如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.
10、74.1),如例2中的(3).例题4(中档题)9【例5】(中档题)作出下列函数的图像:图像变换法(3)y=2
11、x-1
12、 (4)y=
13、1-3x
14、解(2)y=2x-2的图像(如图2.6-5)是把函数y=2x的图像向下平移2个单位得到的.解(3)利用翻折变换,先作y=2
15、x
16、的图像,再把y=2
17、x
18、的图像向右平移1个单位,就得y=2
19、x-1
20、的图像(如图2.6-6).解(4)作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得y=-3x的图像,再把y=-3x的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,
21、把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.(如图2.6-7)例6(中档题):用函数单调性定义证明:当a>1时,y=ax是增函数.【解析】设x1,x2∈R且x1<x2,并令x2=x1+h(h>0,h∈R),很独特的方式则有,∵a>1,h>0,∴,∴,即故y=ax(a>1)为R上的增函数,同理可证0<a<1时,y=ax是R上的减函数.指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析)二次函数为内层函数,指数函数为外层函数例题7中档题)变式1求函数y=()的单调区间,并证明之.解法一(在解答题):
22、在R上任取x1、x2,且x1<x2,则==()(x2-x1)(x2+x1-2)【()为底数,红色部分为指数】,∵x1<x2,∴x2-x1>0.当x1、x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2<0.这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,则>1.∴y2>y1,函数在(-∞,1]上单调递增.当x1、x2∈[1,+∞)时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,即<1.(此处点评:上述证明过程中,在对商式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性)∴y2<y1,函数在[1,+∞上单调
23、递减.综上,函数y在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.合作探究:在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦,因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.解法二、在填空、选择题中(用复合函数的单调性):设:则:对任意的,有,又∵是减函数∴∴在是减函数对任意的,有又∵是减函数∴∴在是增函数在该问题中先确定内层函数()和外层函数()的单调情况,再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.变式2已知且,讨论的单调性.【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题,指数,当≥时是减函数,≤
24、时是增函数,而的单调性又与和两种范围有关,应分类讨论.【解析】设,则当≥时,是减函数,当≤时,是增函数,又当时,是增函数,当时,是减函数,所以当时,原函数在上是减函数,在上是增函数.当时,原函数在上是增函数,在上是减函数.【小结】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;;如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数,但一定注意考虑复合函数的定义域.第二课时例题8:(疑难题)指数函数与二次函数的复合函数换元法先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围)当x=0时,
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