刘小欢文献综述

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1、姓名：刘小欢学号：10207010114班级：10信息(1)班二阶线性微分方程求解方法文献综述常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。二阶变系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解方法却各有不同，因此.二阶变系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系.但是在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程

2、时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数间的关系式.这种联系着自变量、未知函数及它的倒数的关系式，数学上称之为微分方程.微分方程是研究自变量、未知函数及它的导数的之间的关系的数学科学.它是伴随着微积分的产生和发展而形成的一门历史悠久的学科，至今已有300多年的历史了.微分方程来源于生产实践，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况.常微分方程是研究自然科学和社会科中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学方法.牛

3、顿在研究天体力学和经典力学的时候，利用了微分方程这个工具，证实了地球绕太阳的运动轨迹是一个椭圆，从理论上得到了行星运动规律.此后，法国天文学家勒维烈利用微分方程计算出海王星的位置，这些都是表明微分方程在认识自然、改造自然等方面的重要作用，所有说常微分方程在自然科学领域和社会科学领域有着广泛的应用.在常微分方程发展初期，人们主要是针对各种实际问题列出各种方程，用积分的方法求其准确的解析表达式，也就是初等积分法.这种方法一直沿用到十九世纪中期，知道法国数学家刘维尔于1841年在他的一篇论文中提到大多数常微分方程不能用初等积分法求解，由此促使人

4、们放弃这种方法.从此常微分方程进入了基础定理和新型方法的研究阶段.随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的学科领域内有着重要的作用，例如化学、生物学、自动控制、电子技术等，都提出了大量的微分方程问题.同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题.此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系、互相促进.例如几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具,对微分方程的发展产生了深刻的影响.反过来，常微分方程进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展.牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的

5、运动方程就是常微分方程。20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。在当代由电力网、城市交通网、自动运输网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述的。常微分方程的概念、解法和其它理论很多，张孝理在《二阶线性微分方程求解的一个新方法》中构想了求解二阶变系数线性微分方程的一个新方法，分离变量法在所给条件下，将二阶线性微分方程通过变换将其化为变量可分离方程，并指出这种转化所作的函数变换，从而得到了变系数一阶线性齐次微分方程的

6、一些新的、实用的可积判据和可积类型，推广了前人的可积性结果，扩大了微分方程的求积范围（见参考文献[9]）。而杨万顺在《二阶变系数线性常微分方程的求解》里讨论了系数满足一定条件下微分方程的初等解法，并举例说明它的一些简单应用（见参考文献[2]）。二阶变系数常微分方程求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，关于通解的求法及表达式，梁红亮和徐华伟的《一类二阶变系数常微分方程的初等解法》中给出了一类二价变系数常微分方程可积的充分条件及其通解表达式，并举例说明它的此简中应用(见参考文献[6])。刘琼在《一类二阶变系数微分方程的解》中通过变量变换，将

7、变系数线性常微分方程化为常系数线性常微分方程，再利用常数变易法给出了一类二阶变系数非齐线性微分方程的通解(见参考文献[8])。何基好和秦勇飞在《一类二阶线性变系数微分方程通解的解法》中研究了一类二阶线性变系数微分方程通解的解法，也利用特解和常数变易法，给出一类二阶线性变系数微分方程的通解公式(见参考文献[5])。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解的解法研究问题上来。一个常微分方程是否有特解，如果有，又有几个？存在和唯一性

8、定理对于微分方程的求解是十分重要的。李高和常秀芳的《关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究》（参考文献[4]）和冯录祥的《一类二阶变系数非线性微分方程的通解及应用》中(参考文献[1])，都连续