14第十四讲 圆(一)

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1、第十四讲圆(一)一、课标下复习指南1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

2、5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．7．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P

3、在圆内d＜r．8．直线和圆的位置关系直线和圆的位置相离相切相交图形公共点的个数012公共点名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径d＞rd＝rd＜r12r的关系9．切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)10．切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．11．切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线

4、平分两条切线的夹角．二、例题分析例1已知：如图14－1，在⊙O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．图14－1(1)若AB＝，OC＝1，求CD的长；(2)若半径OD＝R，∠AOB＝120°，求CD的长．分析圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．解∵半径OD经过弦AB的中点C，∴半径OD⊥AB(1)∵AB＝，∴AC＝BC＝．∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1．(2)∵OD⊥AB

5、，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．说明如图14－1，一般的，若∠AOB＝2n°，OD⊥AB于C，OA＝R，OC＝h，则AB＝2R·sinn°＝2h·tann°CD＝R－h；的长＝12例2已知：如图14－2，⊙O中，半径OA＝4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC＝60°，求弦BC的长．图14－2分析要用好60°角，构造直角三角形．在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形．解过O作OM⊥BC于M，连接OC．在Rt△OPM中，∠OPC＝60°，

6、在Rt△OMC中，例3已知：如图14－3，△ABC内接于⊙O，BD⊥半径AO于D．图14－3(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝，求⊙O的半径．分析解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．解法一：(1)过O作OE⊥AB于E，连接BO(如图14－4)，则又＝∠AOE．12图14－4∵BD⊥AO，∴∠ABD＋∠BAD＝90°．又∵∠AOE＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠AOE＝∠C．在Rt△ABD中，设AD＝

7、4k，则AB＝5k，BD＝3k＝4.8，k＝1.6．∴AB＝8，AE＝4．解法二：(1)延长AO交⊙O于C′，连接BC′．(如图14－5)图14－5∴∠C′＝∠C．∵AC′为⊙O的直径，∴∠ABC′＝90°．∴∠C′＋∠BAD＝90°．∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C′＝∠C．(2)在Rt△BDC′中，在Rt△ABC′中，∴设AB＝4k，则AC′＝5k，BC′＝3k＝6．∴k＝2．例4已知：如图14－6所示，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，M是OA12上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交B

8、C的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．图14－6(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为1，且AC＝CE，求MO的长．分析连接OC，证OC⊥CF是证切线的常用方法．(1)证明连接OC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°．在Rt△EMB中，∵∠E＋∠MBE＝90°，∴∠E＝30°．∵∠E＝∠ECF，∴∠ECF＝30