均布荷载作用下矩形截面简支梁挠度近似计算公

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1、http://www.paper.edu.cn均布荷载作用下的矩形截面简支梁挠度近似计算公式的误差分析李甲，张琳玲，李健祥武汉大学土木建筑工程学院，湖北武汉，(430072)E-mail:lijia3226451@126.com摘要：均布荷载作用下矩形截面简支梁的挠度计算，实际工程中多采用近似公式，而不是理论公式。通过实际算例，分析了近似公式与理论公式的挠度计算值的误差范围和变化规律，结果表明，在民用建筑中对受均布荷载作用的矩形截面钢筋混凝土梁的最大挠度采用近似计算是可行的。由弹性模量较小的材料制作的矩形截面简支梁承受

2、均布荷载作用时，如果梁的几何参数较小，对最大挠度值的精度要求很高，我们要尽可能采用理论公式进行计算。关键词：简支梁；挠度；近似计算公式；误差分析1矩形截面简支梁挠度的计算公式1.1矩形截面简支梁挠度的近似计算公式设承受均布荷载的矩形截面简支梁的刚度为EI，矩形截面的宽度为b,高度为h，梁的跨度为l,见图1。qxhby图1矩形截面简支梁的受力图梁的挠曲线微分方程为2∂W1[1,3]EI=−Mx()=−ql(−xx)2∂x2[4]对其进行两次积分有1134EIW=−++qlxqxcxc+121224两端简支时，在x=0处的

3、挠度为零，由此可以推出c=02lWd当xW==时，=W0，由此可以推出max,2dx13cq=l124-1-http://www.paper.edu.cn322从而得到忽略(1+W)项影响后的矩形截面简支梁的挠度为1134311Wq=−()lx+qx+qlxEI122424l当x=时245qlW=（1）max384EI1.2矩形截面简支梁挠度的理论计算公式采用与图1一样的受力情况和梁截面尺寸，但由于是理论计算公式，所以必须考虑322(1+W)的影响，那么此时挠曲线的微分方程为2∂W1EI21∂x[2,3]=−M()xq

4、=−(l−x)x3222(1+W)1[4]对其进行积分运算dW令=tanθ，带入上式有dx1EIcos2θ1=−M()xq=−(l−x)x3222(1tan+θ)两边取积分有1cos2θ1dqθ=−()l−xxdx∫∫3222EI(1tan+θ)解得q1132sinθ=(x−+lxc)232EIldWl1因为x=时，==tanθ0，所以x=时，sinθ=0，带入求得2dx213cl=12322于是得到在考虑(1+W)项影响后的两边简支梁的挠度为111323()xl−+xl3212Wx=d1∫21EI2323112()(

5、−−+xlxl)q3212-2-http://www.paper.edu.cn322进而得到考虑(1+W)项影响后的两边简支梁的最大挠度为111323l()xl−+xlWx=23212d（2）1max∫021EI1123232()(−−+xlxl)q32122选择几何参数的代表值并代入挠度公式中进行电算2.1考虑几何参数的变异性得到几何参数的均值与方差由于制作和安装方面的原因，结构构件的尺寸会出现偏差，制作安装后的实际结构构件与设计中预期的结构构件在几何特征上有差异。几何参数的不定性用随机变量K表示：AaK=AaKaa

6、为结构构件几何参数的实际值；为结构构件几何参数的设计值，是定值K其统计参数为：μ平均值：aμ=KAaKσa变异系数：δδ==KAaμa[6]μμaK=×Ka⎫⎪进而得到：A(3)⎬σδμ=××a⎪aKKKAA⎭μ为的均值；aaσ为的方差。aa2.2根据均值与方差并考虑合格率得到几何参数波动范围构件几何参数的实际值近似服从正态分布，设构件尺寸的合格率为90%，参照（图2）我们可以认为实际构件尺寸满足：a=μ−1.645σ，a=μ+1.645σ，故实际构minaamaxaa件尺寸合理波动范围为：f(a)90%aa0aama

7、xmin1.645a1.645a图2合格率为90%时几何参数的取值范围-3-http://www.paper.edu.cnμ−≤1.645σμσa≤+1.645（4）aaaa将式（3）中均值与方差的表达式代入式（4）有aa≤×+μδ1.645××μa⎪⎫KKAAKKKA⎬（5）aa≥×−μδ1.645××μa⎪KKAAKKKA⎭2.3从几何参数的波动范围中选择用于误差分析的代表值通过式（5）可以知道：在合格率为90%的前提下，几何尺寸需要满足：aa=×+μδ1.645××μa⎪⎫maxKKAAKKAK⎬（6）aa=×−

8、μδ1.645××μa⎪minKKAAKKAK⎭设矩形截面梁用于误差分析的代表值为l，b，h。通过对式（1）和式（2）的观察可以知道：随着矩形截面高度和宽度的减小以及梁的长度的增加，受均布荷载作用的矩形截面简支梁的最大挠度将增加，将更接近破坏状态。因此用于误差分析的几何参数代表值应该满足ll=，bb=，hh=（7）maxminmi