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时间:2019-09-20
《奥林匹克数学竞赛初级讲座第7讲 图形与面积》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第7讲图形与面积一、直线图形的面积 在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法,数学竞赛中的面积问题不但具有直观性,而且变换精巧,妙趣横生,对开发智力、发展能力非常有益。 图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质:1.两个可以完全重合的图形的面积相等;2.图形被分成若干部分时,各部分面积之和等于图形的面积。 对图形面积的计算,一些主要的面积公式应当熟记。如 正方形面积=边长×边长; 矩形面积=长×宽; 平行四边形面积=底×高; 三角形面积=底×高÷2; 梯形面积=(上底+下底)×高÷2。
2、 此外,以下事实也非常有用,它对提高解题速度非常有益。 1.等腰三角形底边上的高线平分三角形面积; 2.三角形一边上的中线平分这个三角形的面积; 3.平行四边形的对角线平分它的面积; 4.等底等高的两个三角形面积相等。 解决图形面积的主要方法有: 1.观察图形,分析图形,找出图形中所包含的基本图形; 2.对某些图形,在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置(叫做等积变形); 3.作出适当的辅助线,铺路搭桥,沟通联系; 4.把图形进行割补(叫做割补法)。 例1你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4
3、等份吗? 解:最容易想到的是将△ABC的底边4等分,如左下图构成4个小三 另外,先将三角形△ABC的面积2等分(如右上图),即取BC的中点D,连接AD,则S△ABC-S△ABC,然后再将这两个小三角形分别2等分,分 还有许多方法,如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。 例2右图中每个小方格面积都是1cm2,那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米? 分析:解决这类问题常用割补法,把图形分成几个简单的容易求出面积的图形,分别求出面积。 也可以求出六边形外空白处的面积,从总面积中减去空白处的面积,就是六边形的面积。
4、 解法1:把六边形分成6块: △ABC,△AGF,△PEF,△EKD,△CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面积,如用S△ABC表示△ABC的面积。 故六边形ABCDEF的面积等于 说明:当某些图形的面积不容易直接计算时,可以把这个图形分成几个部分,计算各部分的面积,然后相加,也就是说,可以化整为零。 解法2:先求出大正方形MNRQ的面积为 6×6=36(cm2)。 说明:当某些图形的面积不易直接计算时,可以先求出一个比它更大的图形的面积,再减去比原图形多的那些(个)图形的面积,也就是说,先多算一点
5、,再把多算的部分减去。 解法3:六边形面积等于 S△ABC+S梯形ACDF-S△DEF 说明:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同的角度去观察同一个图形,会对图形产生不同的认识。一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法。做题时多想一想,解法就会多起来,这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。 例3如下图所示,BD,CF将长方形ABCD分成4块,△DEF的面积是4cm2,△CED的面积是6cm2。问:四边形ABEF的面积是多少平方厘米? 解:如下图,连结BF。则△BDF与△CFD面积相等,减去共同的部分△D
6、EF,可得△BEF与△CED面积相等,等于6cm2。 四边形ABEF的面积等于 S△ABD-S△DEF =S△BDC-S△DEF =S△BCE+S△CDE-S△DEF =9+6-4=11(cm2)。 问:两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和,哪个大? 分析:只需比较△ACE与△BDF面积的大小。因为△ACE与△BDF的高相等(都是CD),所以只需比较两个三角形的底AE与BF的大小。 因为△ACE与△BDF高相等,所以S△ACE>S△BDF。 减去中间空白的小四边形面积,推知
7、两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的面积和。 例5在四边形ABCD中(见左下图),线段BC长6cm,∠ABC为直角,∠BCD为135°,而且点A到边CD的垂线段AE的长为12cm,线段ED的长为5cm,求四边形ABCD的面积。 解:延长AB,DC相交于点F(见右上图),则∠BCF=45°,∠FBC=90°,从而∠BFC=45°。 因为∠BFC=∠BCF, 所以BF=BC=6(cm)。 在直角△AEF中,∠AFE=45°,所以∠FAE=90°-45°=45°, 从而EF=AE=12(cm)。 故S四边形A
8、BCD=S△ADF-S△BCF=102-18=84(cm2)。 说明:如果一个图形的面积不易直接求出来,可根据图形的特征和题设条件的特点,添补适当的图形,使它成为一个新的易求出面积的图形,然后利用新图形面积减去所添补图形的面积,求出原图形面积。这种利用“补形法”求图形面积的
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