数学奥林匹克专题讲座第06讲数学方法选讲

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1、第6讲与年号有关的竞赛题　　在数学竞赛中，常可以看到某些题目中出现了当年的年号，这类题我们称之为“年号题”。这类题趣味性强，时间性强，引起了参加竞赛的少年朋友很大的兴趣。　　“年号题”一般可分成两类，一类是题目的条件中出现了当年的年号，另一类是题目答案中出现了当年的年号。下面我们分别举例说明这两类问题的解法。一、题目条件中出现年号的问题　　1．题目在编制和解答中巧妙地运用了该年年号的数字特征，如年号数值的质因数分解式、是否质数、它的数的整除性等等。　　例1将19到80的两位数顺次排成数　　A＝19

2、202122…7980。　　问：这个数A能否被1980整除？　　解：由于1980=99×20，因此要考察A能否被1980整除，只需要考察A能否被99和20整除就行了。　　能被20整除是显然的。　　因为99除100的任何次方所得的余数都是1，所以　　A＝19×10061+20×10060+…+79×100+80　　除以99的余数与B=19+20+…+79+80=99×31除以99的余数相同。因为99

3、B，所以99

4、A。于是A能被1980整除。　　例2用S（n）表示自然数n的各位数字之和，又　　n+S

5、（n）=1999，　　求自然数n。　　　　11x+2y＝89。　　注意到x是奇数且x，y都是一位整数，不难求得x=7，y=6，从而n=1976。　　例3在3×3的九宫格中，填上9个不同的自然数，使得每行三数相乘，每列三数相乘所得的6个乘积都等于P。　　试确定P能取1996，1997，1998，1999，2000，2001这6个数中的哪些值。　　解：所填的9个数应为P的9个不同约数，又P不能填入九宫格内，故P的不同约数的个数应不小于10。1996=22×499，有6个约数；　　1997和1999是质

6、数，各有2个约数；　　1998=2×33×37，有16个约数；　　2000=24×53，有20个约数；　　2001=3×23×29，有8个约数。　　显然P不能取1996，1997，1999和2001。当P=1998和2000时，有下图的填法（填法不唯一），故P可取1998和2000。　　例4有1999块边长为1的正方块，求满足下述条件的有盖箱子的尺寸：　　（1）长、宽、高均大于1；　　（2）将正方块放入箱子中时，能合上盖子，并且使空隙最小；　　（3）在保证（1）（2）的前提下，使箱子的表面积最小。

7、　　解：由于1999是质数且2000=24×53，故空隙最小的箱子的体积应是2000。　　表面积最小的箱子应是各边长相差尽量小的长方体。将2000分解成三个尽量接近的三个数的乘积是　　2000＝10×10×20，　　所以表面积最小的箱子的长、宽、高应为10，10，20。　　2．题目中的年号数是可以换成任意的自然数n的，它只不过是编制时仅仅用具体的年号数来代替n。对于这种情况要善于透过表面看本质，做过后要将特殊推广到一般。　　　　数。　　解：设这两个自然数为x，y，且x＞y。　　　　比较①②两式，取

8、n=1999，有2x=1999×2000，2y=　　1999+1，于是x=1999000，y=1000。　　例6有一张1949×2000的长方形方格纸，方格边长为1。问：这个长方形的一条对角线穿过多少个方格？　　解：由于1949与2000是互质数，故对角线在长方形内不经过任何一个格点。　　对角线与纵向的1950条线有1950个交点，与横向的2001条线有2001个交点。去掉重复计算的对角线两个端点，它与纵横线共有1950+2001-2=3949（个）交点，交点间有3948条线段，即对角线穿过394

9、8个小方格。　　例7有两个容器A和B，A中装有1升水，B是空的。先将容器A　　解：设an和bn分别表示倒了n次以后A中和B中水的升数，　　显然an+bn=1。列表观察如下：　　　　　　说明：如果求倒了2000次以后，A中还剩多少水，那么可进一步计算如下：　　　　例8从自然数列1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，保留5的倍数（例如15，20都不划去），将剩下的数依次写成数列　　A1＝1，A2＝2，A3＝5，A4=7，…求A2000。　　解：3，4，5的最小公倍数是60，在连续的60个自然

10、数中，3的倍数有60÷3=20（个），4的倍数有60÷4=15（个），12的倍数有60÷12=5（个），15的倍数有60÷15=4（个），20的倍数有60÷20=3（个），60的倍数有1个。于是由容斥原理得到，连续60个自然数中，按题设要求划去各数后还剩下　　60-（20+15）+（5+4+3）-1=36（个）。　　2000÷36=55……20。因为在1～34中可以剩下20个数，所以剩下的第2000个数是　　A2000=60×55+34＝3334。二、题目答案中出现年号的题　　这类