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《离散数学教案设计-第一部分集合概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第一章集合概念§1集合及其表示法一、集合的定义1、集合：任一确定的物体的全体，常用大写字母表示。如：A,B,C,-o2、元素：集合中的物体，常用小写字母表示。如：a,b,c,…。注：(1)集合屮的元素是确定的；(2)集合中的元素是无序的；(3)集合中的元素是互异的3、集合与元素之间的关系A是一个集合，a是一个元素，则(i)若a在A中，则称a属于A,记为aEA；(ii)若a不在A中，则称a不属于A,记为agA；例1、A={1,3,5,7},则1WA,2电24、集合的表示方法1)列举法：逐一写出集合中的全部元素。女山小于10的素数的全体A={2,3,5,7}适
2、合于集合中元素的个数是有限的情形。2)部分列举法：写出集合中前几个元素，其余元素用“…”表示。女口：正整数的全体A={1,2,3,4,•・・}自然数的全体A={0,1,2,3,4,・・・}适合于集合中的元素有规律的情形(有限集或无限集)3)隐式法，我们不便或不可能朋迪勲酗金勰遠的方法来描述集合时，常采用此方法。即：找出集合中全体元素所具有的共同性质(properties),记为P(x),集合就用P(x)來定义，记为{x
3、P(x)}。这意味着：该集合中的元素必须满足性质P(x),满足性质P(x)的元素必须在该集合中。如：A={x
4、x是素数且x小于10}4)归
5、纳法：用这种方法描述非空集合A由三步组成，(1)归纳基础：找出某些元素属于A(A非空)。(2)归纳步：给出一组规则，使得从这组规则出发构造的元素仍然属于A。(3)极小化：如果有SoA,且满足⑴和(2),R!]S=AO例：用归纳定义法描述集合N={0,1,2,3,4,•・・}Z+={x
6、x是正整数}N={x
7、x是正整数或0}Z={x
8、x是整数}Q={x
9、x是有理数}5、常用的集合记号(severalsetsandtheirnotations)即Z+={1,2,3,4,•・・}即N={0,1,2,3,4,・・•}即Z={…，-3,・2,・1,0,1,2,3,•
10、・•}即Q中的元素可以写成a/b的形式，a,b是整数,bHOR={x
11、x是实数}①是空集，即不含任何元素的集合举例6、集合的相等若集合A和集合B有相同的元素，则称集合A与集合B相等记为A=Bo顺便指出，证明集合A与B相等时，只需考察：对于任意元素x,应有下式xeA<->xgB成立即可。这就是说，证明两集合相等时可按此法行事。§2子集与幕集一、子集1、子集的定义若集合A的每一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集或A包含在B中，记为AyB；若集合A不是集合B的子集，则记为如下图所示：我们有：Z1oZ,ZoQ2、包含关系的性质设A、B、C是任意集合，①是空
12、集，则(1)①—⑵A匸A(3)若AcB,且BgC，则AoC(4)A=BiffAyB且BoA(iff——ifandonlyif)例设A是一个集合，令B={A,{A}},于是有：AeB,{A}eB,根据子集的定义，有：{A}是B的子集，{{A}}是B的子集，但A不是B的子集。为了讨论问题的方便，我们引入全集U{universal的概念，它包含着我们讨论的所有有意义的物体的全体。即：讨论中提到的任一集合都是U的子集。女口：当我们讨论实数时，所提到的集合A和B必须是实数集，而不是矩阵、电路等等。在Venn图中，全集被表示成矩形，而其子集则被表示成圆形，如下图所示：
13、U厂f、；A；二、有限集和无限集如果集合A恰有n个元素，则称集合A是有限的，n为A的基数，记为
14、A
15、。否则,则称集合A是无限的。(如自然数集、整数集etc)三、幕集1、定义集合A的所有子集的全体称为A的幕集，记为P(A)^powerset)例：设A={1,2,3}贝9P(A)={①,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}2、计数定理：设
16、A
17、=n,M
18、P(A〉
19、=2n证明：因为A中恰含i个元素的子集数为Cj,i=0,1,2,……，n,故子集的总数为：2°4-214-224+2门=(1+1)n=2n§3集合运算本节我们讨
20、论由已知集合构造新集合的方法。一、集合运算的定义设A,B是集合，U是全集，1、集合的并：或属于A或属于B的元素的全体，称为A与B的并，记为AUB,B
21、J：AUB={x
22、xWAorx^B}例3.2(P13)2、集合的交：既属于A又属于B的元素的全体，称为A与B的交，记为AAB,即AOB={x
23、x^AandxWB}注：当两个集合A和B无公共元素时(AQB=①)，称A和B是不相交的。例3.4(P14)3、集合的补：属于A不属于B的元索的全体，称为B关于A的差集，记为A-B,即A一B={x
24、xAandx^B)若A是全集U的子集，则U—A称为A的补集，记为I,即：U
25、一A={x
26、xGUandx丘A}A={x
27、x不属于A}例3.6(P
