有限元理论基础

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1、第2章有限元理论基础以结构计算为例。有限元计算(ANSYS软件)的理论基础－基本方程，边界条件。基本方程：描述应力状态的平衡方程　　　　　描述应变状态的几何方程　　－－－－－有限元计算的核心思想。　　　　　描述应力应变关系的本构方程对应的边界条件。2.1应力状态分析图2.1为单元体的应力状态。图2.1单元体的任一点的应力状态描述：，剪应力互等，六个独立分量　单元体的静力平衡问题。单元体沿三个坐标轴方向的力的平衡条件和对三个轴的力矩平衡条件。三维力的平衡微分方程：j=1,2,3j=1,2,3note:　

2、1.s11　在垂直x轴平面的应力，在X轴的分量。2.F为体力，包括：重力、磁力、惯性力，与物体的质量成正比。Fi为I轴的体力分量。3.物体表面单位面积的面力T三个分量为Tx,Ty,Tz,或T１,T２,T３,应力s的三个分量sx,sy,sz或s1,s2,s3应力边界条件：表达作用在物体表面单位面积丧的面力T与物体内的应力分量之间的关系。2.2　应变状态分析图2.2为单元体的应变状态。图2.2单元体的一点的应变状态的张量描述：与应力状态相似。由剪应变互等定律　　九个应变分量中只有六个是完全独立的。描述一点

3、的应变分量与点的位移分量之间的关系的几何方程。　　　　　如果用张量表示：定义：　　　　　　　2.2应力－应变关系分析－－用于定义材料的性质、设定边界条件。2.3.1弹性材料弹性理论研究的对象是理想的弹性体。符合下述四个基本假设：(1)物体是连续的,由连续介质组成,没有空隙，物体中的应力、应变以及位移等量是连续的，可以用坐标的连续函数表示。(2)物体是均匀的，各部分具有相同的性质，弹性常数不随位置坐标而改变。(3)物体各向同性、弹性常数不随方向而改变。(4)物体是完全弹性的。线弹性问题是以理想弹性体的微

4、小位移和应变为前提条件。(略去高次项成线性方程)。反之为非线性弹性理论。处于(弹)塑性状态的应力－应变关系理论为(弹)塑性理论。线弹性理论的广义虎克定律描述弹性体内任一点的应力－应变分量之间的关系。　　　　　　　　　式中：　　　　　　　单位张量　　　E　杨氏模量；v　泊松比；G为剪切模量　　　　上述为物理方程，或本构方程。用应变表示应力的形式：　基本方程　　　　　　　　　通解　　　＋　　　　　　　　　定解条件　　　　　　　　完整的问题　初始条件――讨论问题的特定时刻　（动态问题）边界条件――弹性体边界

5、上的外力和位移的情况。弹性力学中的边界条件：(1)应力边界条件　　已知作用在物体内的体力Fi和物体表面处的面力Ti,就已知物体边界上的应力。(2)位移边界条件　　已知作用在物体内的体力Fi和物体表面处的位移ui,已知物体边界上的位移。(3)混合边界条件　　已知作用在物体内的体力Fi，物体表面处的位移ui和力已知。解的存在定理和解的唯一行定理：弹性力学问题的解是存在的。在小变形条件下，受一组平衡力系作用的物体的应力和应变的解是唯一的。平面问题：　一般都是三维问题，求解、分析是相当复杂和困难的。在特殊情况

6、下，如果能够把它作为平面问题，大大简化了计算和分析的过程。WHAT?平面问题：　薄板一类的结构。包括平面应力和平面应变问题。平面问题的基本方程和边界条件平衡方程：　　　　　几何方程：边界条件：力　位移：u=u1v=v1平面应力问题：等厚度、　板厚度远小于板的其它两个方向的尺寸，所受的外力平行于板面且不受厚度变化。满足上述条件，应力状态是平面的，二维的；应变状态是空间的，三维的。弹性体平面应力问题：应力状态描述：　应变状态描述：本构方程：　　平面应变问题：沿z轴方向的尺寸远大于其它另外两个方向的尺寸。Z

7、轴方向的位移或应变相对于本身尺寸很小，可忽略不计。满足上述条件的应变状态是平面的，二维的；其应力状态是空间三维的。弹性体的平面应变问题：应力状态描述：　　应变状态描述本构方程：　式中：　　　　　　轴对称问题：弹性体的几何形状和所受外力均对称于弹性体的中心轴。典型的有：柱、筒、环等。特征：剪应力为零，　只有正应力　轴对称平面应力问题：平行板面的外力和几何尺寸沿z轴对称，且z轴的尺寸远远小于x,y方向的尺寸，如薄板圆环。轴对称平面应变问题：所受的外力和几何尺寸沿z轴对称，沿z轴方向的尺寸远大于其它另外两个

8、方向的尺寸或两端受约束。Z轴方向的位移或应变相对于本身尺寸很小，可忽略不计。两种情况的应力分量表达式一样：平面应力问题的应变分量表达式：平面应变问题的应变表达式：将E换为和v换为。