有限元分析理论基础

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1、2有限元法的基本原理2.1有限元简介有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形

2、假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题

3、。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。3）非线性边界问题在加工、密封、撞击等问题中，接触和

4、摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。2.2刚塑性有限元法及其变分原理介绍2.2.1刚塑性有限元法简介刚塑性有限元法是在1973年提出来的，这种方法虽然也基于小应变的位移关系，但忽略了材料塑性变形时的弹性变形部分，而考虑了材料在塑性变形时的体积不变条件。它可用来计算较大变形的问题，所以近年来发展迅速，现已广泛应用于分析各种金属塑性成形过程。刚塑性有限元法的理论基础是变分原理，它认为在所有动

5、可容的速度场中，使泛函取得驻值的速度场是真实的速度场。根据这个速度场可以计算出各点的应变和应力。对于实际的金属成形加工过程，弹性变形部分远小于塑性变形部分(弹性应变与塑性应变之比通常在1/100～1/1000)，因而可忽略弹性变形，将材料模型简化为刚塑性模型。采用刚塑性模型可大大简化有限元列式和求解过程。与弹塑性有限元法相比较，可采用较大的时间增量步长。在保证足够的工程精度的前提下，可提高计算效率。由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材料变形后的构形可通过在离散空间对速度的积分而获得，从而避开了应变与位移之间的几何非线性问题。由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的分析，不能直接分

6、析弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸载和计算残余应力与变形。由于刚塑性模型假设，对一般的体积不可压缩材料，因为其静水压力与体积应变率无关，如要计算应力张量，还必须进行应力计算的处理。从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难(即求出原函数)时，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假定一个满足微分方程的简单函数作为解，求出单元内各点的解；然后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。1.刚塑性有限元法的求解过程（1）离散化处理；（2）单元分析的基础上集合成总体方程组；（3）刚塑性有限元法集合成的总体方程组为一非

7、线性方程组，还须线性化处理并采用迭代方法求解。2.刚塑性有限元法按照处理方法的不同分成如下5种：（1）流函数法；（2）拉格朗日乘子法；（3）罚函数法；（4）泊松系数v接近0.5法；（5）材料可压缩性法。3.刚塑性材料基本假设对于大变形金属塑性成形问题，将变形体视为刚塑性体，即把变形中的某些过程理想化，便于数学上处理。此时，材料应满足下列假设：（1）不计材料的弹性变形；（2）材料的变形流动服从Lev