高中数学函数的应用举例专题讲座

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1、高中数学《函数的应用举例》专题讲座一、学习目标   1、能运用所学的函数知识、方法解决一些简单的实际问题；   2、培养阅读理解能力、建模能力、分析问题解决问题的能力和应用数学的意识。二、例题分析                                    第一阶段[例1]假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系，那么广告效应为。    问如何取得最大广告效应？思路分析：题中条件与所求解问题无关解：        ∴ 说明：解应用题应避免背景的干扰，从复杂的背景中提取必要的数学关系。[例2]有m部同样的机器一齐工作，需要m小时完成

2、一项任务。(1)设由x部机器（x为不大于m的正整数）  完成同一任务，求所需时间y（小时）与机器的部数x的函数关系式；(2)画出所求函数当m=4时的  图像。 思路分析： 本题实质可看作：己知机器的部数求所需时间y。需要先求出每部机器单位时间内完成的工作量。 解：(1)一部机器一小时完成这项任务的，x部机器一小时完成这项任务的所以x部机器完 成这项任务所需时间（小时）为，其中x为不大于m的正整数。  (3)当m=4时，，x为1，2，3，4，对应的y值分别为16，8，，4。这时函数的图像 是四个点(1，16)、(2，8)、、(4，4)，图形同学们自己作

3、。[例3]某人开汽车以60km/h的度从A地到150km远处的B，在B地停留1小时后，再以50km/h的速度返回A地，  把汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图像，再把  车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数和图像。 思路分析： 由题意，x与t的在三个不同的时间段有不同的关系，首先要算出这三个不同时间段。 解：汽车离开A地的距离x（km)与时间t(h)之间的关系式是：      它的图像如图2-28(1)所示 速度v(km/h)与时间th的函数关系式是:         它的图像如

4、图2-28(2)所示。 说明：本题为分段函数问题注意分类求解。                                   第二阶段[例4]某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需  要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（  ）  A、5种  B、6种   C、7种  D、8种 思路分析： 题设共有五个条件，用字母分别表示有关量，将条件数式化，转化为不等式的有关问题。 解：  讨论知，（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（5，2），（6，2）是该不

5、等式符合 条件的所有的解，故共有7故选购方式，选C。 说明：本题重在培养建模能力，以及分类讨论思想。[例5]某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回 本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？ 这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？ 思路分析： 这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题，可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少， 再通过比较作答。 解答：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是 100×（1+10%×5）=

6、150（万元） 本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是   100×（1+9%）5=153.86（万元） 由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元。[例6]1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿），那么 y与x的函数关系式是_______ 思路分析：该题与年份有关，可用归纳的方法求解。 解：因年平均增长率为x%，1993年底人口数为54.8(1+x%)，1994年底人口数为54.8(1+x%)2，…， 2000

7、年底人口数则为54.8(1+x%)8 应填：y=54.8(1+x%)8                             第三阶段[例7]某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴， 设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克。根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的 市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：          P=1000(x+t－8)(x≥8，t≥0),      当P=Q时的市场价格叫做市场平衡价格。 (1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数并求出函数的定义域

8、； (2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？ 思路分析：本题提供的基本关系比较