人带着猫、鸡、米过河问题

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1、摘要：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少？模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。问题的重述：人带着猫、鸡、米过河，船触需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。模型假设不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件。符号说明i=1人i=2猫i=3鸡i=4米Xi=1在此岸xi=0在对岸S=(x1,x2,x3,x4)此岸状态S’=

2、(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4)对岸状态d=(u1,u2,u3,u4)乘船方案ui=1i在船上时ui=0i不在船上Sk第k次渡河前此岸的状态dk第k次渡河的决策问题分析安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s表示某一岸的状况，决策变量d表示是乘车方案，我们容易得到s和d的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目

3、标。模型建立与求解Ⅰ.模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为i=(1,2,3,4)，当i在此岸时记xi=1，否则记xi=0，则此岸的状态可用S=(x1,x2,x3,x4)表示。记的反状态为S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4，允许状态集合为S={(1,1,1,1,)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)}（1）以及他们的5个反状态。决策为乘船方案，记作d=(u1,u2,u3,u4)，当在船上时记ui=1，否则记ui=0，允许决策集合为D={(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)}（2）记第次渡河前此岸的

4、状态为，第次渡河的决策为，则状态转移律为(3)设计安全过河方案归结为求决策序列，使状态按状态转移律由初始状态s1=(1,1,1,1,)经步达到sn+1=(0,0,0,0)。Ⅱ.模型的求解：从而我们得到一个可行的方案如下：12345678Sk(1,1,1,1)(0,1,0,1)(1,1,0,1)(0,1,0,0)(1,1,1,0)(0,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0)dk(1,0,1,0)(1,0,0,0)(1,0,,0,1)(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,0,0,0)(1,0,1,0)因此，该问题的最优方案是：1、人先带鸡过河，然后人再回来，把米带过

5、河，然后把鸡运回河岸，人再把猫带过河，最后人回来把鸡带过去。模型评价与推广（Ⅰ）优点：1、模型简单，切合实际，易于理解；2、建立了合理、科学的状态转移的模型。3、结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性；（Ⅱ）缺点：由于问题的求解没有使用LINGO或MATLAB软件，当状态和决策过多时，采用上述方法求解显得繁琐，容易出错。（Ⅲ）推广：正如课本上的商人们安全过河问题，当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就有些困难了，而适当地设置状态和决策，确定状态转移率，建立多步决策模型，仍可方便有效地求解此类型问题。参考文献：【1】杨启帆，边馥萍.数学建模.

6、浙江大学出版社，1990【2】姜启源，谢金星，叶俊.数学建模.第三版.北京：高等教育出版社，2003