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1、圆锥曲线强化练习(二)1.已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？(2)当
2、OA
3、是
4、OM
5、与
6、ON
7、的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？2.抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上；（3）当时，若点P的坐标为（1，—1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范
8、围.3.已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。4.如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=
9、
10、AB
11、－
12、CD
13、
14、(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.1.解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax
15、0,圆k的半径R=
16、AK
17、=∴
18、MN
19、=2=2a(定值)∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0∴y1y2=y02－a2∵
20、OA
21、是
22、OM
23、与
24、ON
25、的等差中项.∴
26、OM
27、+
28、ON
29、=
30、y1
31、+
32、y2
33、=2
34、OA
35、=2a.又
36、MN
37、=
38、y1－y2
39、=2a∴
40、y1
41、+
42、y2
43、=
44、y1－y2
45、∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.∴0≤x0≤.圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,
46、而圆k半径R=≥a.且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.2.（1）由抛物线C的方程得，焦点坐标为（2）设直线PA的方程为①②点的解将②式代入①式，得，于是③④⑤又点的解将⑤式代入④式，得，于是由已知得，⑥设点M的坐标为将③式和⑥式代入上式，得所以线段PM的中点在y轴上（3）因为点P（1，－1）在抛物线由③式知将代入⑥式得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为故当即3.解：（1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得∵且的面积为1∴,∴∴∴双曲线C的标准方程为。（2）设，联立得显然否则直线与双曲线C只有一
47、个交点。即则又∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)∴即∴∴化简整理得∴，且均满足当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！当时，直线的方程为，直线过定点（，0）∴直线定点，定点坐标为（，0）。4.解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0).故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)考虑方程组,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m
48、－1)整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=.又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上∴
49、AB
50、=
51、xB－xA
52、==(xB－xA)·,
53、CD
54、=(xD－xC)∴
55、
56、AB
57、－
58、CD
59、
60、=
61、xB－xA+xD－xC
62、=
63、(xB+xC)－(xA+xD)
64、又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0∴
65、
66、AB
67、－
68、CD
69、
70、=
71、xB+xC
72、·=
73、
74、·=(2≤m≤5)故f(m)=，m∈［2,5］.(2)由f(m)=，可知f(m)=又2－≤2
75、－≤2－∴f(m)∈［］故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5.
