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1、目录内容摘要1关键词1Abstract.1Keywords11.引言22.泰勒公式22.1具有拉格朗日余项的泰勒公式22.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式22.3带有积分型余项的泰勒公式22.4带有柯西型余项的泰勒公式33.泰勒公式的应用33.1利用泰勒公式求未定式的极限33.2利用泰勒公式判断敛散性63.3利用泰勒公式证明中值问题113.4利用泰勒公式证明不等式和等式134.结束语19参考文献2121泰勒公式的应用内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证
2、明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。本文着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面进行论述。关键词：泰勒公式皮亚诺余项级数拉格朗日余项未定式ApplicationsofTaylorformulaAbstract：Inthemathematicalanalysis,Taylorformulaisaveryimportantcontents,notonlyplaysanimportantroleintheory,butalsointheapproximatecalculation、thelimitcalculation、
3、thefunctionbumpJudgement、convergenceanddiv-ergenceofjudgments、proofofidentityandinequality、theproblemofmid-valueandcalculationofthedeterminant.Thisaticlefocusesonfouraspects:theLimitCalculation、thejudgementofConvergenceandDivergence、thetheproblemofmid-value,aswellastheproveofequal
4、ityandinequality.Keywords：TaylorformulaPeanoremainderSeriesLagrangeRemainderindeterminteform211.引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式,它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式,来很好的解决某些问题,如求某些极限,确定无穷小的阶,证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中
5、值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的具体应用方法。2.泰勒公式2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式如果函数在点的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少一个ξ使得：当=0时，上式称为麦克劳林公式。2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式如果函数在点的某邻域内具有n阶导数,则对此邻域内的点x有:2.3带有积分型余项的泰勒公式21如果函数f在点的某邻域内具有n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少一个t使得:其中就是泰勒公式的积分型余项。2.4带有柯西型余项的泰勒公式
6、如果函数f在点的某邻域内具有n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x有：，。当=0时，又有=。3．泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求未定式的极限未定式是指呈等形式的极限，一般是用洛比达法则求解，当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话，必须进行多次洛比达法则，或是分子分母都是带根号项的话，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式解决，会更简单，明了。21例1求极限分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐。若使用泰勒公式可以将问题大大简化。解：将、在x=0点的麦克劳林公式展开到项得：，。原式===。用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等
7、价无穷小的替代来计算极限的方法。我们知道当时，等。这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化。例2求极限（）解：（）=。又,将cos2x用泰勒公式展开：21Cos2x=。则==。假如细心思考，这一题目的结果可以引起我们的兴趣。当时，，易知。两个互为等价无穷小的函数，它们倒数之差的极限为。为什么是？是什么因素造成这一结果？如果是()，情况会怎么样？定理1当，时，有：(1)当n3时，是关于x的（n-2）阶无穷大；(2)当n=2时，；(3)当n=1时，是关于x的一阶无穷小；(4)
8、当n=0时，=0。证明：(2)在上题已经证明了，(4)是显然成立的
