高中数学第一章推理与证明点拨数学归纳法常见错误剖析北师大版选修2-2【试题教案】

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1、数学归纳法常见错误剖析初学数学归纳法常出现下面的错误，剖析如下：1、不用假设致误例1用数学归纳法证明：1S+3?+.・•+n2=-n(n+1).(2〃+1)。6错证：①当〃=1时，左边=1,右边=lxlx(l+l)x(2xl+l)=1,6所以等式成立。②假设当n=k时等式成立。即『+2?+3?+…+宀丄心+l)(2k+1)。6那么当n=k+1时，『+22+3?+・・・+/+伙+1)2=丄伙+1)[伙+1)+1][2伙+1)+1]6=丄伙+1)伙+2)(2*+3),6也就是说当刃=£+1时，等式成立。由①②知：对任何”gN"

2、等式都成立。剖析：用数学归纳法证明第②步骤时，在从“k”到“k+r的过程中，必须把川=r的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出斤=£+1时的命题所以在推导过程中。故必须把九=k时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。正解：①当/7=1左边=1,右边=1xlx(l+l)x(2xl+l)=l,6所以等式成立。②假设当n=k时等式成立。即『+22+3?+…+疋=丄E伙+1)(22+1)。6那么当n=k+1时,12+22+32+.・・+/+伙+1尸=丄£伙+i)(2£+l)+伙+1尸6=伙+1)[丄k(2R+l)+伙+

3、!)]6171=一伙+1)(2疋+7比+6)=—伙+1)伙+2)(2/:+3)66=丄伙+1)[伙4-1)4-川2伙+1)+1]。6即当n=k+1时，等式成立。由①②知：对任何MEN*等式都成立。2、盲目套用数学归纳法中的两个步骤致误例2当〃为正奇数时，7"+1能否被8整除？若能用数学归纳法证明。若不能请举出反例。证明：⑴当n=l时，7+1=8能被8整除。命题成立。⑵假设当n=k时命题成立。即lk+1能被8整除。则当n二k+1时,7小+1=7(7*+1)—6不能8整除.由(1)(2)知n为正奇数。7"+1不能被8整除分析：

4、错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是整奇数的条件。证明前要看准已知条件。正解(2)n=k时命题成立,即7*+1能被8整除。当n二k+2时，7^+2+1=72(7a+1)+1-72=49(7左+1)_48因7*+1能被8整除。且48能被8整除。所以7'+2+1能被8整除。所以当n二k+2时命题成立。由⑴⑵知当72为正奇数时,7*+1能被8整除。三没有搞清从k到k+1的跨度例3：求证：」一+—!—+・・.+—!—A1n+1/?+23n+1错证：(1)当〃=1时，不等式成立。(2)假设n二k时命题成立，即丄+^^+

5、..・+^^〉1k+k+23k+1则当n二k+1时，一!—+—-—…+—!—+!>1+——!——>1k+2R+33R+13伙+1)+13伙+1)就是说当n=k+l时不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。点评：上述证明中，从k到k+1的跨度，只加了一项是错误的，分母是相临的自然数,故应是茹r时+时k跨度是二项。正确证法：(1)当〃=1时•，左边=丄+丄+丄=6+°+3=豆>1,不等式成立。1+11+21+31212(2)假设n二k时命题成立，即丄++—!—>1,k+lk+23k+1贝iJ当n=k+l时，一!—+—!—+...+

6、—-—4-—-—+——!——+!—k+2£+33k+l3k+23伙+1)3伙+1)+1_,111、丄11丄11—(1•••)+1+k+k+23k+l3k+23伙+1)3伙+1)+1k+1>1+亠+］十警-？屮3k+23k+43伙+1)9疋+1%+83?伙+1尸「6伙+1)6伙+1)-1十—;;>1。加+1弘+8加+1弘+9这就是说，当7?=k+I时，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。我们需要不断的学习，丰富我们的知识面，学到老，是我们良好的生活态度!