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1、力边界法向量在套管应力数值分析中的应用郑传奎覃成锦高德利(中国石汕大学・北京)郑传奎等•力边界法向量在套管应力数值分析中的应用•天然气工业,2006.26(9):87-89.摘要传统法向量求解方法仅适用于简单几何边界问题。国际上大型有限元软件(如ABAQUS)虽然能给出一般边界法向量，但非专业人员无法了解其内核理论。因此，深入研究任意边界法向量数值理论十分必要。等参元边界法向量的数值计算方法，是基于石油套管复杂力边界法向量理论研究和工程需要提出的。自然坐标和物理坐标之间映射关系的建立，便于应用等参单元对任;意几何形状求解域进行有限元
2、离散。依此将多元函数微分方程求解方法与有限元等参变换方法相结合，建立起等参元边界法向量数学计算模型，并编制出相应的计算软件。该理论的应用，能够更加准确模拟石油套管管内流体、地层蠕变等复杂地质条件下，套管壁上的力边界法向量问题。从而能彻底解决复杂套管力边界法向量问题；能够提高套管强度计算精度、优化套管设计程序。所得等参元力边界法向量数值理论及计算软件，普遍适用于一般边界法向量问题。算例给出两类力边界法向量数值方法，套管外壁法向量数值解与解析解对比分析表明，该方法简单，精度高。主题词法向量切向量套管设计套管强度套管应力数值分析一、建立坐
3、标变换如图1所示，设DQR2是孕心为自然坐标丿平面上一个区域直角坐标下空间曲面(工丿上点p的图1自然坐标和物理坐标之间映射关系图参数方程.•久二久(E,-1,©),y-y(K»,-1,勺,2=z(I-1,9,其中氏9"若记p二(x,y,z)J(^9二(x,y,z)^l,p(x9y9z)=f4)=p(x(^,-1,勺』代,-1,9，z(g,-1,初。其中，如果固定©则变为p=f(^5丿。它表示的是D中的一条直线映射在空间曲面(幼屮的一条空间的曲称为E曲线，•同理有©曲线—/每，9。二、用偏导数表示切向量曲而(马参数方程(小坐标分量,均
4、是以自然坐标&©为参变量的函数。因此,对任一定点po(&,5丿，通过曲而方程即在物理坐标中映射出空间点po(xo9yo9zo)0再由式(1).(2)获得该点切向量。当§固定,©在(-1,1丿屮变化，•或©固定,E在(-1,1丿内变化时，根据©曲线、E曲线方程，点p就描画出牢间曲线Cl,C2(见图1)O曲而方程对自然坐标偏导数为：签二、ft25丿，嘰二j气®,9(1)式中:E为曲线、©为曲线在点po的切向量；分别为：亂厂n丿卜)贽h厂八念和(3)三、法向量表示方法假定按照上述原理已经获取某点切向量，当此二切向量均不为0时，夹角0€(0
5、〜18(f),则二向量构成的平而(So丿就是工在点P。的切平而，这正是全微分方程的儿何意义。两向量叉乘积所得新向fl垂直于其二者构成的切平面(滋丿，H方向符合右手定则，该向量是空间曲而(马上点“0的法向量5):n=xfg,5)(4)*本文受到国家自然科学基金项目(编号:50234030和90410006)及“长江学者和创新团队发展计划"(IRT0411)资助。作者简介:郑传奎，1980年生,博士研究生；从事套管损坏方而的研究工作。地址：(102249)Jt京市昌平中国石油大学273信箱。电话:(010)89733702,132418
6、02966。Email:zckzmzzmzzck@sina.oom•87•四、空间等参元边界法向量数值方法用空间20节点有限元法，单元内任意点物理坐标由各节点形函数及物理坐标表示，用张量形式：血二Njx1,2,3;j二1,2,…，20丿(5)式中:Xi(i=1,2,3)分别表示坐标分x,y,z;j表示节点号。由于采用等参变换方法,坐标变换和函数插值采用相同节点，并且采用相同插值函数，所以N既是坐标插值的插值函数,也是函数插值的插值函数。(1)角节点形函数为：M二十(1+盘"1+«)(1-盘-%丿(i=1,2…8丿(6)(2)边中点形
7、函数为：Ni=y(l+玩+©9(1-空)(i=9,10.-.20；(7)将式(6)代入式(5)并分别对£0进行求偏导数,张量形式为：xkj=0.25/??%>(8)式中:化i二&(1+«)(«+2&©&2=©(1+蛋”1+J)(i=1,2.-.20,=1,2：k=1,2,3丿将式(7)代入式(5)可作和似处理。因为£©是求解域上点的自然坐标，只要给出求解域上某点物理坐标对应的自然坐标g丿，即可方便依上述理论获取该点物理坐标对自然坐标的导数，将该导数带入式(4丿，获取该点法向量(几)o五、平面几何边界法向量数值方法Hermite矩形单
8、元角节点和边中点形状函数通过划线法理论计算得到。将单元屮各个节点自然坐标代入相应形状函数表达式，继而导出形状函数对自然坐标的导数，以及物理坐标标对自然坐标的导数。依式(4)计算法向ffi(n),如图2,假设在自然坐标系屮以2、6、3局
