初中数学竞赛：绝对值

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1、初中数学竞赛：绝对值【内容提要】1.绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.a(a>0)用式子表示如下：制彳一°«<0)0(a=0)2.初屮阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等•解答时，--般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含论法.例如:一…•、夷正、负宙c(零点分区讨*27(1)化简x(x-2)解：当x二0,x二2时，x(x-2)=0；当x<0或x>2时，x(x—2)=x(x—2)=x2—2x；当0

2、

3、=—x(x—2)=—x2+x.(2)解方程同+卜一2卜6.解：当x<0时,x二一2；当0WxW2时，方程无解；当x〉2时,x=4.・••原方程的解是：x二一2,x=4..(3)作函数y=

4、x

5、+

6、x-2

7、的图象.解：化去绝对值符号，得y二一2x+2(x<0)；y=2(0WxW2)；y二2x—2(x>2).分别作出上述三个函数的图象(如图)，就是函数y=x+x-2的图象.1.绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如：①解方程同=3；②解不等式卜

8、v3；

9、③解不等式卜+2

10、>3.解:①・.・凶=3的几何意义是:x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和一3,二方程同=3的解是x=3,x=—3.②・・・同<3的儿何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数,・・・不等式

11、彳<3的解集是一3

12、的零点是x=-2,・・・

13、兀+2

14、>3的儿何意义是：x是数轴上到点（一2）的距离大于3个单位的点所表示的数，/.

15、x+2

16、>3的解集是x<—5或x>l.（如下图）二II〉-5-2012.绝对值的简单性质：①绝对值是非负数；②两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些

17、性质，可简化函数的作图步骤.例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x轴向上翻折作函数图象：①y二卜一1（2）当彳（一x）二f（x）,图象关于纵轴对称，这时可先作当*0时函数图彖，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y二疋一2无一3的图象,可先作y二x'+2x—3自变量x〈0时的图象（左半图）再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.（3）把尸卜

18、的图彖向上平移胡个单位，所得图彖解析式是尸冈+0把y二兀的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=x—3（4）利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比

19、较方便.【例题】例1.已知方程

20、R=ax+l有一个负根并且没有正根，求3的值.—1例2・解：当x〈0吋，原方程为一x二ax+1,x=<0,/•a+l>0.Q+1a>_1；当x>0时,原方程为x二ax+1,x=—a•・•方程有一个负根并且没有正根，a>—1且1,・・・a的取值范围是a^l.例3.求函数y=2

21、x—3

22、-

23、x

24、的最小、最大值.解：当x〈0时，y二一x+6；当0Wx<3时,y二一3x+6；当x$3时，y二x—6.根据图彖有最低点而没有最高点・•・函数没有最大值只有最小值一3(当x=3时).>0,/•1—a〉0.例3.解方程：①卜+=〔4—

25、彳；(2)

26、x+l

27、+x—2=4.解：①•・•点(x)到点A(-2)和点B(4)的距离相等(如下图),/.x=l.②・・•点(X)到点A(-1)与到点B(2)的距离的和等于4,AB=352.=X5.;x2.5例4.解不等式：①1Wx+2W3；解：①点(X)到点A(-2)的距离大于或等于1而小于或等于3在数轴上表示如图，・°・不等式的解集是：一5WxW—3或一lWxWl②点(X)到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.在数轴上表示，如图:•••不等式的解集是x>l.例5.a収什么值吋，方程x-2-l=a有三个整数解?解:化去绝对值符号，W

28、

29、x-2

30、-l=±a,X—2=1±a,x—2=±(1±a),/•x=2±(1±a)•当a二1时，x恰好是三个解4,2,0.用图象解答更直观；(1)先作函数y=

31、

32、x-2

33、-l

34、图象,(2)再作y=a(平行于横轴的直线)与y二卜-2

35、-1

36、图象相交,恰好是三个交点时，y=l,即a=l.本题若改为：有四个解，则0l；一个解，则a不存在；无解，则a<0.【练习】1.方程X+3

37、二4的解是.2.方程卜・2卜卜+6

38、=0的解是3.方程兀+1+兀一2=3的解是.1.方程兀一3+冈二5的解是.2.不等式2W

39、x—3

40、W5的解集是•3

41、.不等式卜+1

42、+x—2<5的解集是•4.不等式卜+1

43、+卜—2

44、<3的解集是.&不等式

45、2x-l

46、<

47、x-