渐进时间复杂度的计算

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1、时间复杂度计算首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证

2、算法的运行时间不会比它更长。常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。1.大O表示法定义设一个程序的时间复杂度用一个函数T(n)来表示，对于一个查找算法，如下：intseqsearch(inta[],constintn,constintx){inti=0;for(;a[i]!=x&&i

3、序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，……　，在第n个元素找到需要比较n次。对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为:f(n)=1/n(n+(n-1)+(n-2)+...+1)=(n+1)/2=O(n)这就是传说中的大O函数的原始定义。用大O来表述要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平均情况下的时间代价。对于最坏情况，采用大O表示法的一般提法（注意，这里用的是“一般提法”

4、）是：当且仅当存在正整数c和n0,使得T(n)<=c*f(n)对于所有的n>=n0都成立。则称该算法的渐进时间复杂度为T(n)=O(f(n))。这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识。这里f(n)=(n+1)/2,那么c*f(n)也就是一个一次函数。就是在图象上看就是如果这个函数在c*f(n)的下面，就是复杂度为T(n)=O(f(n))。对于对数级，我们用大O记法记为O(log2N)就可以了。规则1）加法规则T(n,m)=T1(n)+T2(n)=O(max(f(n),g(m))2)乘法规则T(n,m)=T1(n)*T2(m)

5、=O(f(n)*g(m))3)一个特例在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n)＝O©，c是一个与n无关的任意常数，T2(n)=O(f(n))则有T(n)=T1(n)*T2(n)=O(c*f(n))=O(f(n)).也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。4)一个经验规则有如下复杂度关系c

6、些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意.1）基本知识点：没有循环的一段程序的复杂度是常数，一层循环的复杂度是O(n),两层循环的复杂度是O(n^2)?（我用^2表示平方，同理^3表示立方）；2）二维矩阵的标准差，残差，信息熵，fft2,dwt2,dct2的时间复杂度:标准差和残差可能O(n)，FFT2是O(nlog(n))，DWT2可能也是O(nlog(n))；信息熵要求概率，而dct的过程和jpeg一样。因为和jpeg一样,对二难矩阵处理了.Y=T*X*T'，Z=Y.*Mask，这样子,还有分成8*8子图像了;3

7、)example：1、设三个函数f,g,h分别为f(n)=100n^3+n^2+1000,g(n)=25n^3+5000n^2,h(n)=n^1.5+5000nlgn请判断下列关系是否成立：（1）f(n)=O(g(n))（2）g(n)=O(f(n))（3）h(n)=O(n^1.5)（4）h(n)=O(nlgn)这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0,使得当n≥n0时

8、都满足0≤T(n)≤C?f(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。这么一来，就好计算了吧。◆(1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所