算术与代数的区别与联系

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1、算术与代数的区别与联系　　好的数学教师应当具有这样一种专业素养，即是能够跳出细节并从整体上把握自己的教学内容，如什么是这一学期、这一学年，乃至整个学段和整个小学学习期间的主要教学内容，教师在教学中并应努力做好“承上启下”的工作。显然，从这一角度去分析，弄清算术与代数（在此主要指初中代数――下同）之间的区别与联系就特别重要，因为，自然数、分数与小数的认识以及它们的运算正是小学数学教学（更为准确地说，应是“算术”教学）的主要内容，而且，代数思想在算术教学的渗透，不仅直接关系到我们的算术教学能否真正做到“居高临下”，对于学生顺利地由小学过渡到中学也是十

2、分有利的。当然，这也正是新一轮数学课程改革的一个明显特点，即是将原先属于初中代数的部分内容（负数和方程）下放到了小学，从而也就在这一方面提出了直接的要求。　　　　一、同与不同　　　　1．从总体上说，这显然是算术与代数的一个重要区别，即有着不同的研究对象：算术主要集中于自然数、分数和小数的认识，包括相应的计算方法；代数的研究对象则不仅由具体的数扩展到了由字母和数字组成的（代数）式，也更加侧重于方程的研究与应用。　　当然，从形式上看，代数中关于式的研究又应说是与算术中关于数的研究较为接近的。具体地说，尽管运算的对象不同，其涵义也有所扩展，特别是引进了

3、合并同类项、因式分解等新的运算，但在数的运算与式的运算之间显然又有着直接的类比关系。更为重要的是，两者似乎也有着共同的关注，即如何能够通过适当的计算求得最终的结果。　　也正是在这样的意义上，一些学者提出：“算术在很大程度上是过程性的。”另外，这显然也就是人们在算术的教学中何以特别重视算法的掌握以及计算的准确性和迅速性的直接原因。　　然而，应当强调的是，如果我们对于式的教学采取完全相同的观点，即是唯一强调如何能够通过适当的计算求得所需要的结果，则就很可能因此而忽视了一个十分重要的代数思想：“代数即概括。”更为具体地说，这正是数学中引入字母的一个主要

4、作用，即有助于人们通过概括达到更高的抽象层次。从而，如果我们在教学中只是强调了用字母去代表数，却没有能够更加重视如何能够帮助学生很好理解“概括”这样一种重要的代数思想，就不能不说是忽视了在算术与代数之间所存在的这一重要区别。恰恰相反，我们应当清楚地认识到这样一点：“概括也是学习代数的一个途径。”　　应当指出，上述的“过程性观点”又不仅仅体现于数的运算，而且也直接影响到了人们对数的理解。例如，在笔者看来，我们就可从这一角度去理解学生在分数与无限循环小数的学习中何以会经常出现如下的困惑，如“0.999……与1究竟哪个大？”因为，这里的关键恰恰就在于观

5、念的必要更新，也即如何能够帮助学生由过程性的“潜无限观念”转变到对象性的“实无限观念”。　　2．相对于式的教学而言，方程的认识与应用在代数的教学中显然占有更为重要的地位，而也只有从后一角度去分析，我们才能更为深入地认识这样一点：代数的学习必然要求学生超越上述的“过程性观点”并达到新的更高的认识水平。从而，这也就应被看成在算术与代数之间所存在的又一重要区别。　　具体地说，等量关系无疑应当被看成方程的本质，这也就是指，方程所强调的正是对象之间的等量关系。尽管“解方程”的主要目的仍然在于如何能够经由具体运算求得相应的未知量，但在这一过程中我们又必须特别

6、注意不能因此而破坏方程两边的等量关系，也即变形后所得出的新方程应是与原来的方程等价的。例如，也正是在这样的意义上，人们提出，“等价是代数中的一个核心观念”。　　由“等号”的不同理解我们即可更好地认识代数与算术在这一方面的重要区别：如果说等号的使用在算术中主要表明了运算的具体实施过程，也即由具体运算所依次得出的结果，那么，在代数中，“等量关系”就已成为等号的主要意义。例如，从这一角度去分析，我们就可立即看出，以下的常见错误主要就是因为学生仍然处于“过程性观点”的直接影响之下：　　3x=5+13=18=18÷3=6。　　进而，我们在此又应明确提出关于

7、“过程性观点”（也可称为“程序性观点”）与“结构性观点”的区别。例如，就字母与式的理解而言，所谓的“过程性观点”就是指将字母或字母表达式看成所要求取的求知量的直接取代物，这也就是指，我们在此所关心的主要是如何通过具体计算求得所说的未知量；与此相对照，“结构性观点”则是将字母或字母表达式看成直接的对象而非具体数量的取代物，我们在此所主要关注的也只是式与式之间的关系――从而，按照这样的理解，符号表达式事实上就应被看成整体数学结构的一个组成成分。　　值得指出的是，也正是遵循这样的分析思路，一些学者明确提出了这样一种观点，即认为由“过程”到“对象”的转变

8、（这就是所谓的“凝聚”）可以被看成是代数思维的一个基本形式，我们并可从这一角度清楚地去指明在代数与几何之间所存在的重要区别。　　最后，应