2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案2.5.2离散型随机变量的方差和标准差

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1、2.5.2离散型随机变量的方差和标准差入H备科抽象问题情境化，新知无师自通[对应学生用书P41]A,3两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表:/机床次品数X0123P0.70.20.060.043机床次品数Z0123P0.80.060.040」0问题1：试求E(X】)，E(X2).提示：£(Ar1)=0X0.7+lX0.2+2X0.06+3X0.04=0.44.E(XJ=0X0.84-1X0.06+2X0.04+3X0.10=0.44.问题2：由Eg)和E%)的值说明了什么？提示：E(Zi)=E(^2).问题3：试想利用什么指标可以比

2、较加工质量？提示：样本方差.//////H/知白解7////1.离散型随机变量的方差和标准差(1)离散型随机变量的方差①定义：设离散型随机变量X的均值为“，其概率分布为XX2•••XnPPP2•••Pn贝！j(勺—“)认+(卫一“)％2HF(X’—〃)加其中P&0,7=1,2,…，77,卩1+〃2Pn=1)称为离散型随机变暈X的方差，也称为X的概率分布的方差，记为7(加或£.②变形公式：i=③意义:方差刻画了随机变量X与其均值"的平均偏离程度.(2)离散型随机变量的标准差X的方差XX)的算术平方根称为X的标准差,即(7=V^.1.两点分布、超几何分布、二项

3、分布的方差⑴若X〜()一1分布，则％¥)=“(1一历；⑵若X〜H(n,M,N),则■—:(1)若X〜B(mp),则V(X)=np(l-p).［归纳■升华■领悟］1.随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度.々X)越小，稳定性越高，波动越小.2.随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差.高频考点题组化，名师一点就通［对应学生用书P41

4、方差和标准

5、差的计算[例1]C知随机变暈X的概率分布为X01XP1123P若E(X)=〒求住0・n9［思路点拨］解答本题可先根据»刀=1求出"值，然后借助E{X)=^求出x的取值,/=］°最后代入公式求方差.［精解详析］由*+*+"=1,得卩=$.111?又E(X)=OX~+1X§+gx=§,/

6、=

7、.［一点通］求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求得数学期望，进而求得方差或标准差.//////^他集轲V////1.己知X的概率分布为X1234P0.30.20.20.3则v(x)=・解析：V£(^)=1X03+

8、2X0.2+3X02+4X03=0.3+04+0.6+1.2=2.5.・•・7(却=0.3X(1一2.5)+.2X(2-2.5)2+0.2X(3~2.5)2+0.3X(4~2.5)2=1.45.答案:1.451.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则V(X)=.解析：由题意知取到次品的概率为£・・・X〜B(3,为，"㈤=3X*X(1-沪器答案:916*"二数学期望和方差的实际应用[例2]某投资公司在2014年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择:项冃一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项冃上，

9、到年底对能获利30%,也可能72亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为彳和盒项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%,可能亏损31130%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为刍扌和吉.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项日，并说明理由.［思路点拨］分别计算项目一、二中获利的期望与方差后，作出判断.［精解详析］若按“项目一”投资，设获利*万元，则X的分布列为X、300-150P~7-9979E{Xx)=300X-+(-150)X^=200(万元).若按“项目二”投资，设获利疋万元，则疋的分布列为X]500-300

10、0311P53153

11、］・・・E(X2)=500x寸+(—300)X-+0X—=200(万元).727(X

12、)=(300—200)2xg+(—150—200)2Xg=35000,V(X2)=(500-200)2X*+(—300—200)2x

13、+(0-200)2X吉=140000,这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.［一点通］离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算

14、方差，分析