2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差

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1、2．5.2　离散型随机变量的方差和标准差A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值说明了什么？提示：E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？

2、提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差和标准差(1)离散型随机变量的方差①定义：设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布为Xx1x2…xnPp1p2…pn则(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn(其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)称为离散型随机变量X的方差，也称为X的概率分布的方差，记为V(X)或σ2.②变形公式：V(X)＝pi－μ2.③意义：方差刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度．(2)离散型随机变量的标准差9X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝.2．两点分布

3、、超几何分布、二项分布的方差(1)若X～0－1分布，则V(X)＝p(1－p)；(2)若X～H(n，M，N)，则V(X)＝；(3)若X～B(n，p)，则V(X)＝np(1－p)．1．随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度．V(X)越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．方差和标准

4、差的计算[例1]　已知随机变量X的概率分布为X01xPp若E(X)＝，求V(X)．[思路点拨]　解答本题可先根据i＝1求出p值，然后借助E(X)＝，求出x的取值，最后代入公式求方差．[精解详析]　由＋＋p＝1，得p＝.又E(X)＝0×＋1×＋x＝，∴x＝2.∴V(X)＝2×＋2×＋2×＝.[一点通]　求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求得数学期望，进而求得方差或标准差．1．已知X的概率分布为9X1234P0.30.20.20.3则V(X)＝________.解析：∵E(X)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0

5、.2＋4×0.3＝0.3＋0.4＋0.6＋1.2＝2.5.∴V(X)＝0.3×(1－2.5)2＋0.2×(2－2.5)2＋0.2×(3－2.5)2＋0.3×(4－2.5)2＝1.45.答案：1.452．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则V(X)＝________.解析：由题意知取到次品的概率为，∴X～B，∴V(X)＝3××＝.答案：.数学期望和方差的实际应用[例2]　某投资公司在2014年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，

6、投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．[思路点拨]　分别计算项目一、二中获利的期望与方差后，作出判断．[精解详析]　若按“项目一”投资，设获利X1万元，则X1的分布列为X1300－150P∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2

7、的分布列为X2500－30009P∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．V(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35000，V(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140000，∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)

8、．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．3．甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10