斜拉索非线性随机次谐波振动分析

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1、http://www.paper.edu.cn斜拉索非线性随机次谐波振动分析王哲武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉（430070）E-mail：wangzhe_81_80@163.com摘要：当支座运动是窄带随机过程且中心频率拉索面内基本频率的2倍时，本文采用MonteCarlo技术研究拉索的非线性随机次谐波振动。仿真分析表明拉索的随机响应与随机支座运动的带宽有关：当带宽较小时，拉索的面外振动占主导地位；随着带宽的增加，拉索的面内振动和面外振动幅值基本相当；进一步增加带宽，则仅存在拉索的面内振动。关键词：拉索；MonteCarlo技术；非线性；随机次谐波振

2、动中图分类号：TU352.1文献标志码：A1.前言除外部的风荷载或风雨荷载，拉索支座的运动也可以引起斜拉桥等结构上的拉索振动。当拉索支座运动频率与拉索面内基本频率成某种倍数关系时，小的激励振幅也会激发很大的拉索响应，这一现象称之为参数振动，已经被多座已建斜拉桥的长期监测以及试验结果所证实。与振动系统由外激励引起的共振不同，拉索的参数振动发生在一个较宽的频率范围内，因此很有必要对拉索参数振动的控制作进一步的研究。[1]Nielsen等人采用Irvine特征模态，研究了拉索在支座简谐运动下的面内面外的超谐波、次谐波和组合谐波等现象。在实际情形下，桥面或桥塔的运动

3、并不完全是周期运动，而[2]是窄带随机过程。Nielsen和Larsen指出，在周期支座运动下，当其运动频率与拉索面内基本频率相近时，拉索存在三种不同的周期运动；并且还研究了在窄带随机支座运动下，索在这三种状态之间的触发机制。众所周知，当支座作简谐运动且运动频率大约是拉索面内基本频率的2倍时，拉索会产生较大的次谐波参数振动。然而当支座运动是窄带随机过程且中心频率是拉索面内基本频率的2倍，拉索的随机次谐波振动则研究的很少，而这正是本文的研究重点。本文采用Galerkin方法得到斜拉索振动的两自由度模态方程，然后运用MonteCarlo模拟技术研究了拉索的次谐波

4、随机振动。2.理论2.1运动方程由于拉索的垂度非常小，因此拉索沿弦长方向的振动可以忽略不计。假设沿索长方向的截面积保持不变，索始终保持在弹性变形范围内以及拉索的静态位形可由抛物线方程描述，同时忽略拉索的抗弯刚度和斜拉索所受到的外部荷载，则如图1所示的斜拉索的面内面外耦[3]合非线性动力方程可表示为22∂vmgcosθ∂v(H+h)−h−m=0(1)22∂xH∂t22∂w∂w(H+h)−m=0(2)22∂x∂t-1-http://www.paper.edu.cnu(0,)tu()l,tH+hfH+hzxwuyvl图1斜拉索计算简图其中，v和w分别为拉索在y和z

5、方向上的动位移，H和h分别为拉索沿x方向的的静态张力和动态张力，m为拉索的单位质量，θ为拉索的倾角。设拉索的动态张力h沿索长方向保持不变，且仅保留一阶和二阶项，则EA⎛fl1l∂v21l∂w2⎞h=⎜u(l)−u(0)+8vdx+()dx+()dx⎟(3)L⎝l2∫02∫0∂x2∫0∂x⎠e其中，E为索的弹性模量，A为拉索的截面积，l为索的弦向长度，f和Le分别为拉索中点处的垂度和有效索长，可表示为⎡2⎤2⎛f⎞mglcosθLe≈l⎢1+8⎜⎟⎥,f=(4)⎢⎣⎝l⎠⎥⎦8H本文的重点是研究拉索支座的弦向位移同时引起的拉索中点处面内面外位移。当支座运动频率

6、为拉索面内频率两倍时，拉索的二阶模态将会被激发。但是拉索二阶模态在拉索中点处位形为零，因此二阶模态可以忽略。同时，三阶以上的模态对拉索振动的贡献与一阶相比可以忽略，故拉索的面内和面外动位移可表示为v(x,t)=Φ(x)q(t),w(x,t)=Φ(x)q(t)(5)2211其中，Φ2(x)和Φ1(x)分别为拉索的一阶面内和面外特征模态，q2(t)和q1(t)为相应的模态坐标。由于拉索中点处特征模态归一化为单位位移，因此q2(t)和q1(t)就是拉索中点处的真实位移。将式(5)带入式(1)-(3)，运用Galerkin方法，则可以得到如下的两自由度常微分动力方程

7、222q&&+2ζωq&+ω(1+e(t))q+βqq+q(γq+γq)=0(6)1111111121112222222q&&+2ζωq&+ω(1+αe(t))q+βq+βq+q(γq+γq)=−ηe(t)(7)222222213223142其中，ω1和ω2分别是拉索面外和面内的第一阶模态频率，ζ1和ζ2为相应的模态阻尼比。e(t)是反映拉索弦向伸长的无量纲量，即EAu(l,t)−u(0,t)EAΔue(t)==(8)HLHLee[2]所采用的拉索的特征模态以及式(6)(7)中的各参数的具体值可参考文献。2.2拉索弦向伸长模型随机过程e(t)可以由二阶过滤高

8、斯白噪声过程模拟，即23e&&+2μωe&+ωe=2