巧用质心和质心系求解竞赛题

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1、例1、如图，一水平放置的圆环形刚性套槽固定在桌面上。槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别为mx>m2>m3,其屮=m3=,小球与槽壁刚好接触，而它们之间的摩擦可以忽略不计。开始时三球处在槽中I、II、III的位置，彼此之间距离相等，加2、加3静止。"以初速度Vo沿槽运动，R为圆环的内半径和小球半径之和。设各球间的碰撞皆为弹性碰撞。求此系统的运动周期T。分析与解答：此题的常规解法是逐一应用动量守恒，找出系统的运动规律。从而求出周期。该方法比较麻烦。如果注意到三个小球在运动过程中在圆的切线方向不受力。故可以认为系统的质心作匀速圆周运动。

2、系统运动一个周期，即质心运动一个圆周。设质心的速率为岭叫亠竺,所以周期T=^=20sm,+m2+m3510匕.例2、在光滑水平而上有两个质量均为m的物体A和B,B上有一劲度系为k的轻弹簧。AvB°A/WVWVn物A以速度心向静止的物体B运动，并开始压缩弹簧，求：从开始压缩弹簧到最大压缩量过程屮物体B的位移。分析与解答:先求出弹簧的最大压缩量。当两物体速度相等时，弹簧压缩量最大。此时两物体速度为V设最大压缩量为兀卄由动量守恒和能量守恒得:(2)rh(1)(2)得：在运动过程中相对于地面来说。A、B两物体都做复杂的变加速运动。现在以质心为参考系来

3、研究A、B两物体的运动规律。注意到系统不受外力，质心做匀速直线运动。其中质心位于AB两物体的中点处，质心速度"豊诗。在质心系屮，A、B两物体相对质心C的初速度：心=勺_匕=号,%=°-叮一号；由于质心位于AB两物体连线的屮点处。故可以将弹簧等效为两根一样的弹簧串联，劲度系数都为2k,AB两物体在两弹簧的作用下相对质心做对称的简谐运动，两物体相对质心C的振动周期都为T,且“2门欽当弹簧压缩量最大时，两物体相对质心C运动的距离m所以，B物体对地的位移：勺八丄”642m2k例3用长为/=lm的不可伸长的弹性轻绳系上同样的小球使它们静止在光滑的水平面

4、上，开始弹性轻绳松弛彼此相距0.5m,现使其屮一个小球沿垂直于两球球心连线方向，以速度vcv0=OAm/s运动。求经过3min吋两球的速度为多少?分析与解答:系统不受外力，系统的质心做匀速直线运动，速度"岁现以质心为参考系,1a两球最初开始相对质心以今速率向左和向右运动。经过人=°.5cos30。=5岳,弹性绳第一次拉直。拉：2直的瞬间，遵循弹性碰撞的规律，在垂直于弹性绳方向Y-上的分速度不变。由于两球质量相同，沿弹性绳方向分速<度大小不变，方向反向。如此反复，这相当于小球在以绳长、、22#C21末/=1加为直径的“圆筒”中发生弹性碰撞，“

5、碰撞”前后小球速度类似“光反射”定律。碰后两球以号沿各自方向匀速运动，到再次拉直，又“碰撞”，如次循环。可得知两球沿边长“戸的正三角形边匀速运动。在质心系屮，经过f=3min,球1运动了“=丄叩=9加的路程。aX]~o01——=«9.890可得经过/=3min，两球相对质心。V3t2——x12位置如图所示，即1末和2末位置，速度方向如图。球2对地的速度：v1rti：YT7T都是寸由于两物体振动的起始位置都是平衡位置，故运动的时间，盲乜畑nz方向与质心运动方向成60。角。ttv2=2x

6、cos30(>=—m/.；球1对地的速度:V]=vlc+v

7、c,vk.=号方向与质心运动方向成12(f,故岭=号=().05加/$例4.质量为M的粒子A以速度u运动，与质量为m的静止B粒子发生弹性碰撞，设M>m0求A粒子在碰撞后，相对于原运动方向最大偏角0。粒子的初动量:分析与解：Mv选质心为参考系，质心速度冬=，且质心速度不变。M+加TTTniMV在质心系屮，A的初动量Pl=M(v-vc)=:BM+m—>p2=M(Q-vc)=-mMvM+m在质心系中，碰后两个粒子动量分别,p2□由动量守恒和能量守恒有:P1+卩2=P+”2=0(1)77°-+=⑵2M2m2M2m得：Pl=p2=p}=p^可知A粒子在

8、质心系中速度大小保持不变，即恒为：vlc=M+m但是方向不确定。-――>现转到对地参考系来研究A粒子的运动，设A粒子碰后的速度为片，有：V)=vc+vlr由下面矢量图可得，当片于以片。为圆心的圆相切时，°最大。且7?70=arcsin—