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1、立体几何讲义一、空间几何体图3图4图5球与正方体的组合体问题(1)正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。如图3，截面图为正方形的内切圆，得；(2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。例1．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ).A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12例2.（1）在球面上有
2、四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是______.(2)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为_________。二、平行关系例3.如图,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,AB=AC=,AA'=1,点M,N分别为A'B和B'C'的中点.6证明:MN∥平面A'ACC';三、垂直关系例4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1⊥平面BDCCBADC1A1（2）.如图,三棱柱ABC-A1B1C
3、1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.证明AB⊥A1C;如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.（3）如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.6(I)求证:(II)练习题1.一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.2．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得该几何体的表面积为________cm2.3
4、.如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A)(B)(C)4(D)84．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）A．2B．3C．6D．5.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2))若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°,求面APD与面BPC所成二面角的余弦值。6ABCD6.如图：四棱锥中，,,．∥，．．证明:平面例题及练习答案例1：根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为:此几何体为一个底面为直角三
5、角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=×(2+3)×4+×4×5+×4×(2+3)+×2×=30+6.例2.（1）解：由已知可得、、实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点的一条对角线，则过球心，对角线（2）解．正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为。例4（2）【答案】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,6∵AB=,=,∴是正三角形,∴⊥AB,∵CA=CB,∴CE⊥AB,∵=E,∴AB⊥面,∴AB⊥;(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,
6、⊥AB,又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,
7、
8、为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,),设=是平面的法向量,则,即,可取=(,1,-1),∴=,∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为练习1.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由
9、（3）－（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。2.解：6由三视图可知，此几何体是一个以AA′＝2，AD＝4，AB＝2为棱的长方体被平面A′C′B截去一个角后得到的，在△A′C′B中，因为A′C′＝BC′＝2，BA′＝2，所以S△A′C′B＝×2×＝6，故几何体表面积为2×4×2＋2×2＋×4×2×2＋×2×2＋6＝36.3.解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以，选A.4.解：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。怎么设变量，解出来？5.解析 (1
10、)因为PH是四棱锥P－ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，
