初三寒假讲义

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1、综合专题1、（1）如图1，把边长是3的等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到图2，再把图2中图形各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个新图形，则这个新图形的周长是；图1图2（2）如图3，在的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为斜边向外作等腰直角三角形，去掉居中的那条线段，得到图4，请把图4中的图形剪拼成正方形，并在图4中画出剪裁线，在图5中画出剪拼后的正方形．图3图4图52、我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下

2、面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点为等腰直角三角形的重心，，直线过点,过三点分别作直线的垂线，垂足分别为点.(1)当直线与平行时（如图1），请你猜想线段和三者之间的数量关系并证明；(2)当直线绕点旋转到与不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．图1图2图33、已知：如图1，等边的边长为，一边在轴上且，交轴于点，过点作∥交于点．（1）直接写出点的坐标；（2）若直线将四边形的面积两等分，求的值；

3、（3）如图2，过点的抛物线与轴交于点，为线段上的一个动点，过轴上一点作的垂线，垂足为，直线交轴于点，当点在线段上运动时，现给出两个结论：①②，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．图1图24、如图，+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△的面积为，△的面积为，…，△的面积为，则=；=____(用含的式子表示)．5、阅读：如图1，在和中，,,、、、四点都在直线上，点与点重合.连接、，我们可以借助于和的大小关系证明不等式：().证明过程如下:∵图1图2∴∵,∴.即.∴.∴.解决下列问题：(1)现将△沿直线向右平移，设,且.如图2,当时,.利用此图

4、,仿照上述方法,证明不等式：().(2)用四个与全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个示意图，并简要说明理由.6、关于的一元二次方程有实数根，且为正整数.(1)求的值；(2)若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点(在左侧)，与轴交于点.点为对称轴上一点，且四边形为直角梯形，求的长；(3)将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点的坐标为,当抛物线与(2)中的直角梯形只有两个交点，且一个交点在边上时，直接写出的取值范围.7、点为抛物线(为常数，)上任一点，将抛物线绕顶点逆时针旋转后得到的新图象与轴交于、两点(点在点的

5、上方)，点为点旋转后的对应点.(1)当，点横坐标为4时，求点的坐标；(2)设点，用含、的代数式表示；(3)如图，点在第一象限内,点在轴的正半轴上，点为的中点，平分，，当时，求的值.8、已知：中，，中，,.连接、，点、、分别为、、的中点.图1图2(1)如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是________________，此时________；(2)如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值(用含的式子表示)；(3)在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.9、如图，已知直线与直线相交于点C，、分别交轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线、上，

6、顶点都在轴上，且点与点重合．（1）求的面积；（2）求矩形的边与的长；ADBEOCFxy（G）（3）若矩形从点B出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向点A平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．1、如图，抛物线经过三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．OxyABC412、如图，已知△ABC的面积在图（1）中，若，

7、则在图（2）中，若，则在图（3）中，若，则按此规律，若，则=.ABCCABBA图1图2图3C1B1A2B2CC2A3B3C33、正方形的对角线交点为，两条对角线把它分成了四个面积相等的三角形．（1）平行四边形的两条对角线交点为，若，，，面积分别为，试判断的关系，并加以证明；（2）四边形的两条对角线互相垂直，交点为，若，，，面积分别为，试判断的关系，并加以证明；（3）四边形的两条对角线交点为，若，，，面积分别为，试判断的关系，并加以证明；（4）四边形的两条对角线相等，交点为，，若，，，面积分别为，试只用或