【红对勾】（新课标）2017高考数学大一轮复习第七章立体几何51空间角的求法课时作业理

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1、课时作业51空间角的求法1・(2014•福建卷)在平面四边形力救中，AB=BD=CD=,AB1BD,CDIBD.斓7ABD沿勿折起，使得平而//血丄平而恥，如图.(1)求证：ABLCD,(2)若财为川〃中点，求直线昇〃与平面沏％所成角的正弦值.解：(1)・・•平面力肋丄平面BCD,平面昇肋G平面BCD=BD,畀〃「平面ABD,AB1BD,:.力〃丄平面BCD.乂C2平而BCD,:.ABA_CD.(2)过点〃在平而救内作〃E丄创，如图.曲⑴知/矽丄平面仇”BEU平面BCD,平面BCD,:・AB1BE,ABLBD.以〃为坐标原点，分别以必一一,BD-

2、,必一的方向为*轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意，得〃(0,0,0),Q(l,1,0),〃(0,1,0),J(0,0,1),M0,*,~»则〃C—=(1,1,0),BM~=(0,*,扌)，AD~=(0,1,—1).设平面沏％'的法向量n=(ao,血艮)，r”n伍+必=0,■BC~~=0,贝IJ即＜11[n•BM-~=0,尹+严=0,取Zo=l,得平jftlMBC的一个法向©/?=(1,—1,1).设直线与平而•肪C所成角为J贝ijsin0=1cosn,AD一*丨=错误！=错误！，即直线初与平血奶C所成角的正弦值为普-.2.(201

3、5•广东卷)如图，三角形宓所在的平面与长方形所在的平面垂直，PD=PC=4,初=6,点F是G?边的中点，点F,6*分别在线段BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明：PE丄FG；(2)求二面角P-AD-C的正切值；(3)求直线PA与直线代;所成角的余弦值.解：⑴证明:、：PD=PC,F为ZT的中点,:.PEA.DC.又•・•平面P69丄平面初6况月.平面平面ABCD=CD,:.PEL平面ABCD.又•:FGU平面ABCD,:・PEIFG.(2)取肋中点〃，连接EH,由⑴知/为丄％,PE丄EH,山于四边形血d为矩形,所以HEIDC,故以刃/、E

4、C、胪所在直线分别为x轴、y轴、刁轴建立空间直角坐标系.故由PD=4,AB=CD=6得刃〜⑴，即P(0,0,⑴)，〃(0,-3,0),力(3,-3,0),PD—=(0,—3,—,PA—=(3,—3,—.设平®PAD的一个法向量为ni=(x,y,z),m■PDm•PA=0,=0,—3y—y[^z=0,3x—3£z=0,x=0,解得3y=—y[7令z=3,则m=(0,3).而平面個刃的一个法向量n=(0,0,1),设二面角P-AD-C的平面角为久由图知〃为锐角,所以COS0n3~m•~49/•tan()=(3)由(2)知必一=(3,-3,一曲,

5、0(2,3,0),F(3,1,0),所以6F—=(1,—2,0).设异面肓线PA与FG所成角为a,贝I」cosa=3X1+(—3)X(—2)琲—5X&—25*2.(2015•浙江卷)如图，在三棱柱ABC-A^G屮，Z必Q=90°,AB=AC=2,JJ=4,川在底面血农的射影为化的小点，〃是5G的中点.⑴证明：丄平而(2)求二面角A-BD-B^的平而角的余弦值.解：⑴证明：设F为滋的中点，连接AE,DE,由题意得位、丄平面昇比；所以丄AE.因为AB=AQ所以AELBC.AEGBC=E且AE优U平面力/C,故朋丄平面ABC.由〃，£分别为SG,血的中点,

6、得DE//BxB宜DE=BB,从而DE//A胡吐DE=AS,所以竝2为平行四边形.故AD//AE又因为处丄平而//C,所以力”丄平而//C（2）以⑵的中点E为原点,分别以射线£4,EB,EA为X,y,z轴的正半轴,建立空间直角朋标系疋一“％,如图所示.由题意知各点坐标如下：加0,0,0）,〃（0,型,0）,D（-品0,囲），〃（一边,品V14）.因为/!/—=（0,边，一0）,BD—=（_品-^2,0）,加一=（0,花，0）.设平ihiAsBD的一个法向量为m—（%i,yi,刀），平面〃肋的一个法向量为刀=（血乃,m•AB一=0,m・BD~=0,

7、可取227=(0,n■DB—=0n・BD一=0,可取27=(萌，0,III^/2yi—^/14zi=0,—yfixi—y/iyi+y[I^zi=O,1).yf^y2=0,1).于是Icos〈風ri）1~m•~89、一电曲一边$2勿=0,曲题意可知，所求二面角的平面角是钝角,故二面角A-BD-Bx的平面角的余弦值为一右优生冲击名祓1.（2015•天津卷）如图，在四棱柱ABCD—ABGD中，侧棱乩4丄底ABCD,ABLAQ初=1,AC=AA^=2.AD=CD=y^,H点"和河分别为EC和〃〃的中点.⑴求证：朋〃平面仙⑵（2）求二而角D—AC

8、—B的正弦值;⑶设£为棱佔上的点，若肓线祕'和平tfn*ABCD所成的角的正弦值为g,求线段的长.解:如图