专题讲义用均值不等式求函数的最值

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1、专题讲义用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式的运用是本章的一个重要内容，也是求函数最值的一个重要工具。要求同学们能运用均值不等式解决一些函数的最值问题。一、几个重要的均值不等式①当且仅当a=b时，“=”号成立；②当且仅当a=b时，“=”号成立；③当且仅当a=b=c时，“＝”号成立；④，当且仅当a=b=c时，“=”号成立.注：①运用均值不等式时，务必要注意：一“正”、二“定”、三“等”.②记住一个重要的不等式链：.二、函数图象及性质(1)函数图象：(2)函数性质：①值域：；②增区间：，；减区间：，.三、用均值不等式求最值的常见类型类型：求几个正数和的最小值。例1.求下列函数

2、的最小值：类型：求几个正数积的最大值。-4-例2.求下列函数的最大值：①②类型：条件最值问题。例3.求下列函数的最小值：①已知正数x、y满足x+2y=1，②已知正数x、y满足求的最小值。求x+2y的最小值。类型：用均值不等式化归为其他不等式最值。例4.求解下列各题：①已知正数x、y满足xy=x+y+3，试求xy的范围。②已知：x、y，满足xy+x+y=2，求的最小值。类型：化归为利用均值不等式求解的其他。例5.求解下列各题：-4-①求(x>1)的最小值。②求(x>0)的最大值。③已知，当恒为正值，求k的范围。类型：用均值不等式解题时等号不成立。例5.求下列函数的最小值：①若x

3、、y，求的最小值.②求函数的最小值.四、针对训练1.求下列各题：-4-①求最小值__________.②函数最小值是___________.③若点在直线上移动，则表达式最小值是_________.④若，最大值是_______.⑤若、,且满足，则的最小值是_______。2.某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对其特定号彩电降价。有以下四种方案：先降价，再降价；②先降价，再降价；③先降价，再降价；④一次性降价，其中。上述四种方案中，降价幅度最小的是()A.方案①B.方案②C.方案③D.方案④3.在区间上，函数与在同一点取得相同的最小值，那么在上的最大值是（）．Ａ．Ｂ．4

4、Ｃ．8Ｄ．4.函数，若在[4,8]上有解，试求a的取值范围。5.函数，若在[4，8]上恒成立，求a的范围。6.若满足，不等式恒成立，试求实数m的范围。7.若若不等式恒成立，试求实数m的取值范围。-4-