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《一元微积分下(a)复习 2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、Ch4复习概要一、换元法第一类换元法（凑微分法）∫f⎡⎣ϕ(x)⎤⎦ϕ′(xdx)=∫fudu()=Fu()+C=F⎡⎣ϕ(x)⎤⎦+C1、先找复合函数，再确定中间变量；2、利用三角公式等恒等变形，再换元；3、熟悉常用的求导结果，先确定中间变量的导数，再找复合函数。第二类换元法x=ϕ(t)t=ψ(x)∫fxdx()=∫f⎡⎣ϕ(t)⎤⎦ϕ′(tdt)=F⎡⎣ψ(x)⎤⎦+C利用三角函数代入221)a−x,x=asin,tdx=acostdt2222)a+x,x=atan,tdx=asectdt22常见的四类3x−a,x=ase
2、c,tdx=asectanttdt简单无理函数：直接代换倒代换：利用倒数代换万能公式代换：利用万能公式代换二、分部积分法∫udv=uv−∫vdu基本原则：反对幂指三常见的几种形式：nn1、幂函数与三角函数：∫xsinxdx,∫xcosxdxnx2、幂函数与指数函数：∫xedxn3、幂函数与对数函数：∫xlnxdx4、幂函数与反三角函数：nn∫xarctanxdx,∫xarcsinxdxx5、指数函数三角函数：∫esinxdx例11cosx1）∫dx2）∫2dx12−xsinx12x−23）∫dx4）∫2dx23−xx−2x+3
3、例1exarcsinxdx6）∫dx5）∫1−x2x1arctanx7）∫xdx8)∫∫dxe+1x(1+x)例21−x211）∫dx2）∫2dxxx1+x113）∫dx4）∫dxxx2−1x+x115）∫dx6）∫dxx−3xx1+x例3xxxxdx1）∫esindx2）∫sin2223）∫xtanxdx例3arctanx24）∫3dx5）∫(arcsinxdx)xcosx6）fx()的一个原函数为，求∫xf′(xdx)x37）∫secxdxCh5复习概要一、定积分的计算1、积分上限函数xΦ(x)≜∫ftdt()aΦ′(x)
4、=fx()(a≤≤xb)2、换元法、分部积分法注意：1)偶倍奇零的使用；2)第二类换元时，换上下限代替反函数代回；3)在开根式和有绝对值时，注意被积函数的符号。3、广义积分的计算无穷限的广义积分：+∞∫fxdx()=F(+∞−)Fa()ab∫fxdx()=Fb()−F(−∞)−∞+∞∫fxdx()=F(+∞−)F(−∞)−∞3、广义积分的计算无界函数的广义积分：bf(x)dx−若b为瑕点,则∫=F(b)−F(a)ab+若a为瑕点,则∫f(x)dx=F(b)−F(a)a若a,b都为瑕点,则bf(x)dx−+∫=F(b)−F(a)
5、a若瑕点c∈(a,b),则b+−∫f(x)dx=F(b)−F(c)+F(c)−F(a)a二、定积分的几何应用1、平面面积的计算直角坐标下：两条曲线y=fxy(),=gx()与x=ax,=bb则：A=∫fx()−gxdx()a二、定积分的几何应用1、平面面积的计算极坐标情形计算由r=rx()及θ=αθ,=β围成1β2A=∫⎡⎣r(θ)⎤⎦dθ2α二、定积分的几何应用2、旋转体的体积1)y=fx()直线x=ax,=b及x轴所围曲边绕x轴b2旋转一周的体积V=∫π⎡⎣fx()⎤⎦dxa2)x=ϕ(y)直线y=cy,=d及y轴所围曲边
6、绕y轴d2旋转一周的体积V=∫πϕ⎡⎣(y)⎤⎦dyc二、定积分的几何应用3、曲线弧长的计算直角坐标下y=fxx()∈[ab,]计算长度S（fx()在(ab,)上有连续的一阶导数）bb22S=∫1+ydx′=∫1+⎡⎣f′(x)⎤⎦dxaa二、定积分的几何应用3、曲线弧长的计算参数方程⎧⎪x=ϕ(t)⎨α≤≤tβ⎪⎩y=ψ(t)β22S=∫ϕ′(t)+ψ′(tdt)α二、定积分的几何应用3、曲线弧长的计算极坐标方程r=r(θ)(α≤θ≤β)β22S=∫r(θ)+r′(θ)dθα三、定积分的物理应用1、变力沿直线做功2、水压力3
7、、引力例1cosx′21）(∫sinxcos(πtdt))3′⎛xdt⎞2）⎜∫x24⎟⎝1+t⎠例211πx1）∫dx3）∫xsindx032+x02x4e12）dx−x∫1x4）∫0xedx例3.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(x)≠0,试证至少存在一点ξ∈(a,b),使b∫f(x)dxf(ξ)a=bg(ξ)∫g(x)dxabb分析:即证g(ξ)∫f(x)dx−f(ξ)∫g(x)dx=0aa⎡x⎡xb⎤′x⎡xb⎤′⎤′即⎢∫g(⎢⎣x∫)adgx(x∫)dfx(⎥⎦x)dx−∫f(x⎢⎣)∫adfx(∫x)
8、gd(xx⎥⎦)dx⎥=0aax=ξaax=⎦ξx=ξ⎣故作辅助函数xbxbF(x)=∫ag(x)dx∫af(x)dx−∫af(x)dx∫ag(x)dx例4.设f(x)∈C[a,b],且f(x)>0,试证:bbdx2∫f(x)dx∫≥(b−a)①aaf(x)xxdtF(x)=
